좌표계

座標系 / coordinate system, coordinates

좌표계는 기하학에서 숫자나 기호를 써서 위치를 표기하는 방식을 뜻한다. 이 때의 위치를 지정하는 숫자나 기호는 좌표라 불린다. 필요에 따라 무수히 많은 임의의 좌표계를 만들 수 있으나, 과학에서 크게 유용한 2차원 좌표계는 두 가지, 3차원에서는 가장 유명한 세 가지이며, 각각의 특성이 있어서 용도에 적합한 것이 사용되곤 한다.

한국 교육과정상, 여기서 열거된 좌표계 중 데카르트 좌표계를 제외한 나머지(극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계)는 대학 미적분학, 공업수학, 전자기학에서 배운다. 그리고 복소평면은 전기전자공학과에서 페이저를 이용하여 교류 전원 회로를 분석할 때 사용한다.

좌표축의 정의역이 양의 실수 전체의 집합일 경우 로그 스케일 적용이 가능하다.[1]

우리말 '직교'에 대응하는 영단어는 'orthogonal'인데, 직교좌표계(orthogonal coordinate system)는 '단순히 세 개의 좌표축(내지 좌표축과 평행한 단위벡터들)이 항상 서로 직교하는 좌표계(이때 좌표축이 고정되어 있다는 보장은 없다.)'를 총칭하는 말이므로 혼동에 주의해야 한다.[2] 데카르트 좌표계는 고정된 좌표축을 사용한다. 당장 밑에 소개되는 극좌표계나 구좌표계만 봐도, 어떤 점에서든 각 성분들의 변화 방향이 모두 서로 직각임을 볼 수 있다.

데카르트 座標系 / Cartesian coordinate system[3]

우리가 흔히 볼 수 있는 좌표계로 데카르트 좌표계가 있다. 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 천장을 날아다니며 옮겨붙는 파리를 통해 영감을 얻고 해당 좌표계를 발명했기에 데카르트의 이름이 붙어 있다. 2차원용의 데카르트 좌표계는 다음과 같다.



오른쪽 위부터 반시계 방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라고 한다. 데카르트 좌표계라고 하면 고등학교 때까지 배운 2·3차원 직각 좌표계를 뜻한다. 과학에서 쓰일 때 보통 $x$축이 독립변인, $y$축이 종속변인을 나타낸다. 도수분포를 나타낼 때에는 $x$축이 계급구간을, $y$축이 도수를 나타낸다.


3차원 좌표계는 사진과 같이 오른손 좌표계, 왼손 좌표계로 구분할 수 있다. 대부분 오른손 좌표계를 많이 사용하며, 왼손 좌표계는 덜 사용하는 편이다. 참고로 고등학교 기하와 대학교 미적분학 과목에서도 오른손 좌표계만을 사용한다. 단 컴퓨터 그래픽에서는 DirectX, Unity 등의 환경에서 왼손좌표계 또한 많이 사용하는 편. 2009 개정 교육과정의 화학1에서 오비탈을 설명할 때는 왼손 좌표계를 이용한 그림이 더 많은 편이었다.

복소수에서는 복소평면을 통해 지겹도록 볼 수 있다.[4]

2차원(평면)용의 좌표계 중 하나이다. 극점(pole)이라고 부르는[6] 기준점으로부터의 거리, 그리고 극점을 지나는 기준선[7]에 대한 각도로 위치를 표시하는 방법이다.

좌표평면 위에 극점 $\rm O$와 다른 점 $\rm P$를 취하고 벡터 $\overrightarrow{\rm OP}$의 길이를 $r$, $\overrightarrow{\rm OP}$가 $x$축 양의 방향에 대하여 만드는 각을 $\theta$라고 할 때(단, $\underline\theta = \theta/{\rm rad}$), 실수의 짝 $(r,\,\theta)$를 점 $\rm P$의 극좌표(polar coordinate)라고 한다. 같은 점 $\rm P$의 데카르트 좌표를 $(x,\,y)$라고 하면 $x=r\cos\underline\theta$, $y=r\sin\underline\theta$이다. 극점의 극좌표는 $(0,\,\theta)$($\theta$는 임의의 각)라고 한다.

극좌표에 차원 하나를 더해서 $z$축 방향으로 잡아 늘리면 원통좌표계(cylindrical coordinate)가 된다.[8] 데카르트 좌표를 극좌표로 만드는 것처럼 극좌표에서 높이를 각도로 정의한 것은 구좌표계(spherical coordinate)가 된다.

한 점의 2차원 데카르트 좌표계(줄여서 좌표계)로 나타낸 좌표가 $(x,\,y)$이고, 극좌표계로 나타낸 좌표가 $(r,\,\theta)$라면, 두 좌표 사이의 관계는 아래와 같다.

무슨 소리인지 잘 이해가 안 되면 데카르트 좌표계 제1사분면에 점을 찍고, $x$축에 수선의 발을 내려 원점 $\rm O$, 수선의 발 $\rm H$, 제1사분면 점 $\rm P$를 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 $\rm OHP$를 만들어 보자. 이때 $\overline{\rm OP}=r$, $\overline{\rm OH}=x$, $\overline{\rm HP}=y$라 하면

극좌표계는 원점으로부터의 방향과 거리가 중요한 경우에 유용하다. 직각 좌표계에서 각도와 거리를 이용해 좌표를 구하려면 삼각함수를 써야 하기 때문에 복잡해진다. 특히 라플라시안 같은 경우 극좌표계는 일상 생활에서 많이 쓰이지는 않는데, 의외로 게임에서 극좌표계의 개념이 쓰인다. 스타크래프트에서, 특히 헌터맵에서 1시 앞마당이니 7시 본진이니 하는 건 어찌보면 극좌표계의 개념이라 할 수 있다.

복소수를 표현할때도 자주 쓰인다. 오일러 공식에 의해 복소평면 상의 임의의 좌표를 위상각과 크기로 변환할 수 있기 때문. 특히 복소수 계산시 극형식이 훨씬 간편한 경우도 있다.

또한, 크기와 위상으로 정보를 표현할 수 있다는 점 때문에 신호 해석에 적합하고, 회로나 전기 계통에서 쓰이는 페이저 개념 역시 극좌표계의 응용이다.

델 연산자를 이용한 라플라시안을 극좌표계 형식으로 바꾸면 조금 복잡해지는데 (구좌표계 역시 비슷하다) 그것을 델 연산자가 처음부터 데카르트 좌표계를 기준으로 삼아서 정의되었기 때문이다.

극좌표계에서의 벡터는 다음과 같은 단위 기본벡터를 통해서 표시할 수 있다.

단, 데카르트 좌표계와 달리, 두 벡터는 고정되어 있는 것이 아니기 때문에 주의할 것. $\theta$ 좌표에 따라서 각 점의 기본벡터가 달라진다. 점 $(r,\,\theta)$에서의 각 기본벡터를 직각 좌표계로 쓰면 다음과 같다.

$(x,\,y) = (r\cos\underline\theta,\,r\sin\underline\theta) = (r\cos\underline\theta){\bf\hat x} + (r\sin\underline\theta){\bf\hat y} = r{\bf\hat r}$이므로 $\bf\hat r$은 쉽게 유도할 수 있고, $\bm{\hat\theta}$는 $\bf\hat r$과 직교하면서 반시계 방향의 회전을 $(+)$로 약속하므로 $\bf\hat r$의 각 $\underline\theta$에 $\underline\theta+\cfrac\pi2$를 대입하면 $\bm{\hat\theta}$가 된다.

한편, 증가 혹은 감소함수를 극좌표로 변환할 경우 나선 모양이 되는데 유명한 사례로 일차함수 기반인 아르키메데스 나선, 로그함수 기반인 로그나선 등이 있다.

圓筒座標系 / cylindrical coordinate system
극좌표계의 또 다른 확장판으로 원통좌표계가 있다. 교재에 따라 원기둥좌표계라고 서술해놓은 경우도 있다. 극좌표에 데카르트 좌표계의 상하 방향인 $z$축을 추가한 것이다.

원통좌표계의 대표적인 예로 HSV 색좌표가 있다. 색도가 극좌표이고 명도, 채도는 데카르트 좌표.

球座標系 / spherical coordinate system

2차원(평면)용인 극좌표계를 3차원으로 확장시킨 좌표계로서 구면좌표계가 있다. 서로 수직으로 만나는 세 평면을 가정하고 이때의 두 평면이 교차하면서 만들어내는 직선들을 $x$축, $y$축, $z$축이라 할 때, 원점에서의 거리($\rho$), 방위각[10][11]($\theta$), 천정각[12][13]($\phi$)의 세 수치를 이용해서 위치를 표현한다. 단, 물리학에서는 $\rho$를 $r$로 표기하고 $\phi$와 $\theta$의 역할을 맞바꾸어 사용한다. 즉, $x$축과의 사잇각이 $\phi$, $z$축과의 사잇각이 $\theta$가 되는 식. 구면좌표계는 다음과 같은 간단한 대입을 통해 3차원 데카르트 좌표계로 변환할 수 있다. 원활한 이해를 돕기 위해 아래 수식은 그림과 일치하는 좌표계로 나타냈음을 참고하자.

구면좌표계 상에 벡터를 표시할 경우 다음과 같은 3개의 기본벡터의 결합으로 나타낼 수 있다.

이때, $\bm{\hat\rho}$는 반지름 방향의 단위벡터, $\bm{\hat\phi}$는 $z$축 양의 방향을 기준으로 $\bm{\hat\rho}$를 향해 회전하는 방향의 단위벡터, $\bm{\hat\theta}$는 $\bm{\hat\rho}$를 $xy$평면에 정사영한 것을 단위벡터화한[14] $(\cos\underline\theta){\bf\hat x} + (\sin\underline\theta){\bf\hat y}$와 직교하고 $x$축 양의 방향을 기준으로 반시계방향으로 $\phi$가 증가하는 방향의 단위벡터이다. 따라서 $\bm{\hat\phi}$는 $\bm{\hat\rho}$의 $\underline\phi$에 $\underline\phi+\cfrac\pi2$를 대입해서 얻어지고, $\bm{\hat\theta}$는 단위벡터 $(\cos\underline\theta){\bf\hat x} + (\sin\underline\theta){\bf\hat y}$의 $\underline\theta$에 $\underline\theta+\cfrac\pi2$를 대입하면 얻어진다.

지구상의 위치를 나타낼 때 쓰이는 지리 좌표계, 즉 위도/경도로 위치를 표시하는 방식이 구면좌표계의 특수한 형태다. 지리 좌표계가 구면좌표에 기반을 둔 것은 지구가 공 모양과 비슷한 것과 연관이 있다.[15] 물론 지구 반지름이 워낙 크므로, 구면좌표계에서의 거리 요소는 사용되지 않고 높이가 필요시 따로 지표로부터의 높이를 명시한다. 참고로 항상 지리 좌표계가 쓰이는 것은 아니고, 특수한 좌표계가 쓰이기도 한다. 예를 들어 군대에서는 격자를 이용해 표현하는 군사좌표라는 좌표계도 사용된다.

대학교 과정의 수학, 물리학에서는 학을 뗄 정도로 상당하게 쓰인다. 슈뢰딩거 방정식, 폐곡선, 폐곡면, 곡률 등. 왜인지 고등학교 수학에서는 등장하지 않지만 지구과학Ⅱ(2015 개정 교육과정)에서는 천구 좌표계가 간접적으로 응용되는 감이 있다. 심지어 2009 개정 교육과정에서는 지구과학Ⅰ으로 잠시 내려온 적도 있었다.

  자세한 내용은 천구 좌표계 문서를 참고하십시오.