일차함수

一次函數 / nonconstant linear function[1]

일차함수는 함수 $y=f(x)$에서 $y=ax+b$ 와 같이 $y$가 $x$의 일차식으로 나타나질 때, 이 함수를 일차함수라고 한다. 일차함수의 그래프는 다음과 같다.


좌측은 $f(x):{\mathbb R} \to {\mathbb R}$, 우측은 $f(z):{\mathbb C} \to {\mathbb C}$의 그래프이다.[2]

일반적으로 다변수함수로 확장하면, 다음과 같이 된다. 이를 선형형식(linear form)[3]이라고 한다. 이를 일반화한 개념이 텐서이다.


위 식은 벡터를 이용해서 아래와 같이 바꿀 수 있다. $\ast$는 수반 연산자이다.

일차함수 $f(x)=ax+b$는 다음을 만족시킨다.

위 그림과 같이 그래프 위의 점에서는 그래프에 접선을 하나[7]만 그을 수 있으며 이는 그 점에서의 접선이다. 그래프 위에 있지 않은 점에서는 접선을 그을 수 없다. 그래프 위의 점에서 그은 접선은 일차함수의 그래프와 일치한다.

  자세한 내용은 직선 문서를 참고하십시오.

그래프가 직선이기 때문에 '선형함수'라고도 부른다.

극좌표계상에서

의 그래프는 나선이 되는데 이를 아르키메데스 나선이라고 한다.

아래는 가장 간단한 경우인 $b=0$인 경우에 대하여 그래프의 개형을 그려본 것이다.



실생활에서 의외로 자주 볼 수 있는데, 다름 아닌 모기향이 아르키메데스 나선을 본떠 만들기 때문이다. 또한 자연계에서도 거미줄이 이 나선으로 만들어졌다.[8]

위 정의식에서 $a=1$, $b=0$일 경우[9]를 생각해보자.

이는 항등함수의 일종이며, 다음과 같은 성질을 가진다.

등차수열의 일반항은 일차식으로 나타나기 때문에, 공차를 일차항의 계수로 하고 정의역이 자연수인 일차함수로 볼 수 있다. 등차수열 참고.

  자세한 내용은 다항함수/추론 및 공식 문서를 참고하십시오.

  자세한 내용은 다항함수/추론 및 공식 문서를 참고하십시오.

수학에서 미분(derivative, 微分) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수다. 어떤 함수의 미분 계수 또는 순간 변화율을 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 $x$의 증분에 관한 함숫값 $f(x)$의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값, 즉 함수에서 변수 x값의 변화량에 관한 함숫값 $f(x)$의 변화량 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값 ${\rm d}y/{\rm d}x$로 나타낸다.

동사로서 미분(differentiation)은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일, 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수에서 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요 주제다.

미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점 주변에서 1차 함수로 생각한다. 이를 반복하면 함수의 다항함수 근사를 얻으며 무한 번 하면 테일러 급수를 얻는다. 이는 14세기 인도 수학자의 저작에도 등장한다. 기하학적으로는, 비선형적인 함수로 표현되는 곡선의 한 점에서 그 곡선과 비슷한 직선인 접선을 구하는 것으로도 볼 수 있다. 일반적으로 미분기하학에서는 선형 공간인 접공간을 생각하여 미분다양체를 선형적으로 바라보며, 미분형식, 미분다양체에서 적분등은 모두 접공간이 필수적으로 고려되어야 한다.

선형대수학의 알파이자 오메가로, 이것을 하나의 수(벡터)로 가정하고 이를 집합(벡터 공간)으로 삼아 이론을 전개한다.

디리클레 정리가 일차함수 위의 소수를 다룬다.

등속직선운동이 일차함수의 형태를 띤다. 등가속도 운동에서는 속력 - 시간 그래프가 일차함수이다.