타원면

최근 수정 시각: 2025-03-26 10:06:42

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기하학·위상수학
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타원면의 예 중 하나인 스테인리스 비누

1. 개요2. 설명3. 부피와 겉넓이

쉽게 말하자면 구를 1~2개 축 방향으로 잡아당겨 늘인 것으로, 타원의 3차원 버전이라고 할 수 있다.[1] 타원체[2], 계란형, 달걀꼴 등으로도 불린다. 회전체에 해당하는 경우[3] 회전타원면/회전타원체라고 한다.

일상 생활에서 꽤나 흔하게 볼 수 있는 곡면이다. 다른 이름인 계란형에서 짐작하듯 계란이 타원면에 가깝고[4][5] 이외에도 계란과자, 바둑돌, 간유 캡슐, 연질캡슐, 럭비공 등 상당히 쉽게 볼 수 있다. 지구 역시 구에 가까운 타원면이다.

타원 기하학은 타원면 위에서 전개하는 기하학의 한 갈래이다.

3. 부피와 겉넓이[편집]

각 축에 대응하는 타원면의 길이를 각각

a,\,b,\,c

라고 하면 다음과 같다.

부피: $4\pi abc /3$
겉넓이: $2\pi c^2 + 2\pi ab\csc(\phi)(E(\phi,\, k) \sin^2(\phi) + F(\phi,\, k) \cos^2(\phi))$
(단, $\cos(\phi) = c/a$ , $k = \sqrt{(a^2b^2-a^2c^2)/(a^2b^2-b^2c^2)}$ , $a\geq b\geq c$ )

E,\,F

는 불완전 타원 적분이다. 불행하게도 타원의 둘레를 구하기 위해 타원 적분을 정의해 사용한 것처럼, 타원면의 겉넓이도 마찬가지로 타원 적분을 사용해야 정확한 값을 구할 수 있게 된다.

[1] 사실 수학적으로 보자면 원이 타원의 특수 형태로 보듯, 구를 타원면의 특수 형태라고 보는 것이 더 적절하다.[2] 타원면을 입체도형으로서 다루는 경우 부르는 명칭.[3] 즉 한 개의 축 방향에 대한 단면이 원인 경우[4] 다만 실제로는 한쪽은 타원면의 절반, 다른 한쪽은 타원포물면을 접합한 모양에 가깝다. 계란 모양에 대한 수학적 고찰[5] 사실 일반인 사이에서 타원면을 뭉뚱그려 계란 모양이라고 하는 정서는 세계 공통이다. 대표적으로 미식축구의 별명 중 하나가 handegg라는 것에서 알 수 있다.

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타원면

1. 개요[편집]

2. 설명[편집]

3. 부피와 겉넓이[편집]