순환소수

최근 수정 시각: 2026-04-08 16:43:13

분류

1. 개요[편집]

循環小數 / repeating decimal, recurring decimal

소수로 표기 시 일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하는 수를 일컫는다. 즉, 무한소수 중 순환되는 단위가 있을 경우 이를 순환소수라 한다. 이때 소숫점 아래에서 순환(즉, 반복)하는 가장 짧은 부분을 '순환마디'라고 한다.

나타낼 때에는 다음과 같이 순환마디의 맨 처음 부분과 맨 마지막 부분 위에 점을 붙여 표시한다.[1]

$0.333333 \cdots = 0. \dot 3$
$0.1624624624 \cdots = 0.1 \dot 62 \dot 4$
$0.34343434 \cdots = 0. \dot 3 \dot 4$

한국에서는 위와 같이 시작과 끝 부분에 점을 찍는 방법을 사용[2]하고 있지만, 표기법이 세계적으로 통일된 게 아니라서 나라별로 약간씩 차이가 있다. 다음 방법들도 사용된다.

순환마디 전체에 점 찍기
$\dfrac{6858}{5555} = 1.2\dot3\dot4\dot5\dot6$
순환마디 위나 아래에 줄긋기
$\dfrac17 = 0.\overline{142857} = 0.\underline{142857}$ [3]
순환마디를 괄호로 감싸기
$\dfrac17 = 0.(142857)$
순환마디 위에 호를 그리기
$\dfrac{67}{55} = 1.2~\:\overset{\normalsize\mathclap\frown}{\phantom{\scriptsize;\!}}\clap{18}~\:$

참고로 중등교육에서는 순환소수와 유한소수를 별개의 것으로 분리해서 가르치지만,

n

진법까지 고려한 소수 표현의 일반화를 고려하면 유한소수는 순환소수 중 순환마디가 0으로 반복되는 특수한 사례로 보는 게 더 타당하다. 순환마디가 0인 소수 중 정수는 순순환소수, 정수가 아닌 유리수는 혼순환소수로 볼 수 있는 것이다. 즉, 모든 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다. 정수와 유한소수는 0.999…=1 처럼 순환마디가 9인 무한소수로 나타낼 수도 있다.

반면에 순환마디가 없는 무한소수도 있는데 이를 무리수라고 한다. 물론 무리수라고 소수점 아래 구간의 규칙이 항상 없거나 발견하지 못한 것이라고는 할 수 없다. 단지 순환마디라는 규칙은 가질 수 없을 뿐.

2. 종류[편집]

기약분수로 나타냈을 때 분모가

2

와

5

이외의 소인수를 갖는다는 공통된 특징이 있다.[4]

2.1. 순순환소수[편집]

순환마디가 첫째 자리부터 시작되는 소수를 일컫는다.

$\dfrac13 = 0.333\cdots = 0.\dot3$
$\dfrac{34}{99} = 0.343434\cdots = 0.\dot3\dot4$
$\dfrac{100}{33333} = 0.003000030000300\cdots = 0.\dot0030\dot0$

어떤 순환소수가 순순환소수일 필요충분조건은 그 순환소수를 기약분수로 나타냈을 때 분모가 10과 서로소[5]인 것이다. 증명은 다음과 같다.

[ 증명 펼치기 · 접기 ]

일반성을 잃지 않고, 순환소수의 정수 부분이 0이라고 가정하자. 즉, 우리가 생각할 순환소수는

0.a_1a_2a_3a_4\cdots

의 꼴이다.
먼저 순순환소수

0.\dot{a_1}a_2\cdots\dot{a_n}

을 생각하자. 아래의 '분수화' 과정을 통해서 이 순환소수를 분수로 고치면

0.\dot{a_1}a_2\cdots\dot{a_n}=\cfrac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n-1}

이 된다. 여기서

a_1a_2\cdots a_n

은

a_1

부터

a_n

까지의 곱이 아니라 각 자릿수가

a_1

부터

a_n

인 십진법 꼴의 정수이다. 즉,

a_1=3

a_2=6

a_3=9

라면

a_1a_2a_3=369

와 같이 약속한다. 그러면 위에서 얻은 분수

\cfrac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n-1}

을 약분하여 기약분수

\cfrac pq

로 고쳤다고 하면,

q

는

10^n-1

의 약수가 된다.

10^n-1

과 10이 서로소임은 명백하므로,

q

또한 10과 서로소여야 한다.
역으로 어떤 기약분수

\cfrac pq

에 대하여

q

가 10과 서로소라고 가정하자. 그러면 오일러 정리에 의하여

10^{\varphi(q)}-1

은

q

의 배수이다. 여기서

\varphi

는 오일러 피 함수이다. 따라서 적당한 정수

r

을 분자, 분모에 곱하여

\cfrac pq = \cfrac{pr}{10^{\varphi(q)}-1}

이 되도록 할 수 있다. 이 형태의 분수가 순순환소수가 됨은 위에서 이미 보였다.

2.2. 혼순환소수[편집]

순환마디가 둘째 이후의 자리부터 시작되는 소수를 일컫는다.

$0.1624624624\cdots = 0.1\dot62\dot4$
$\dfrac56 = 0.8333\cdots = 0.8\dot3$
$\dfrac15 = 0.2000\cdots = 0.2\dot0$ - 교과과정에서는 유한소수로 배우지만 엄연히 혼순환소수의 하나다.

어떤 순환소수가 혼순환소수일 필요충분조건은 그 순환소수를 기약분수로 나타냈을 때 분모가 10과 서로소가 아닌[6] 것이다.

3. 분수화[편집]

순환소수를 분수로 고치기 위해서 다음과 같은 방법을 쓸 수 있다. 중2 수학 시험에 꼭 나오는 부분이다.

대수적 방법
두 가지 예를 들어서 과정을 설명한다. $0. \dot 3$ 의 경우
1. $a=0.333333 \cdots$ 로 놓으면
2. $10a=3.333333 \cdots$ (ㄱ)
3. $a=0.333333 \cdots$ (ㄴ)
4. (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 $9a=3$
  $\therefore a = \cfrac13$ (약분을 해야 한다) [7]
$0.\dot14285\dot7$ 의 경우
1. $a=0.142857142857 \cdots$ 로 놓으면
2. $1000000a=142857.142857 \cdots$ (ㄱ)
3. $a=0.142857142857 \cdots$ (ㄴ)
4. (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 $999999a=142857 \; \therefore a=\displaystyle \frac{142857}{999999} = \displaystyle \frac{1}{7}$
등비급수를 이용한 방법
2015 개정 교육과정 기준 미적분에서 등장한다. 예를 들어 $2.32 \dot 4$ 는 다음과 같이 유리화한다.
1. $2.32\dot4$ 는 $2.32 + 0.00\dot4$ 로 쓸 수 있다.
2. $0.00 \dot 4 = \cfrac1{100}{\biggl( \cfrac4{10} + \cfrac4{100} + \cfrac4{1000} + \cdots \biggr)} = \cfrac4{100}{\biggl( \cfrac1{10} + \cfrac1{100} + \cfrac1{1000} + \cdots \biggr)} = \cfrac4{100} \displaystyle \sum^\infty_{n=1}{\left( \frac1{10} \right)}^n$
  여기서 $\sum$ 이후의 부분이 바로 첫째항과 공비가 동시에 $\displaystyle \frac{1}{10}$ 인 등비급수다.
3. 첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ 인 등비급수의 합이 수렴할 때 그 값은 $\cfrac a{1 - r}$ 이므로,
  $\displaystyle \sum^\infty_{n=1} {\left( \frac1{10} \right)}^n = \frac{\dfrac1{10}}{1 - \dfrac1{10}} = \frac19$
4. 그러므로 $2.32\dot4 = 2.32 + 0.00\dot4 = \cfrac{232}{100} + {\biggl( \cfrac4{100} \times \cfrac19 \biggr)} = \cfrac{232}{100} + \cfrac4{900} = \cfrac{2092}{900} = \cfrac{523}{225}$
공식
위에서 소개한 등비급수를 이용한 방법을 공식화한 것이다.
위와 같이 $2.32 \dot 4$ 를 예로 들면
- 분모에는 (ㄱ) 순환마디의 글자 수만큼 9를 쓰고(예시로 든 수의 경우 1개), (ㄴ) 순환마디가 아닌 소수점 아래의 글자 수만큼 0을 쓴다(2개).
- 분자에는 (ㄱ) 유리화하려는 순환소수를 소수점과 윗점을 제외하고 쓴 수(2324)에서 (ㄴ) 순환소수를 소수점과 순환마디를 제외하고 쓴 수(232)를 뺀 수를 적는다.
위와 같은 과정을 따르면 $\displaystyle \frac{2324-232}{900} = \frac{2092}{900}$ 이 나오게 된다. 약분까지 하면 $\displaystyle \frac{523}{225}$ .
[ 증명 펼치기 · 접기 ]
위의 등비급수를 이용한 풀이 과정을 다음과 같이 변형해서 쓸 수 있다.
$\begin{aligned} 2.32 + 0.00\dot4 &= \frac{232}{100} + {\left( \frac4{100} \times \frac{\dfrac1{10}}{1 - \dfrac1{10}} \right)} \\ &= \frac{232}{100} + \frac4{100 \times {\left( 1 - \dfrac1{10} \right)} \times 10} \\ &= \frac{232}{100} + \frac4{100 \times (10 - 1)} \\ &= \frac{232 \times (10 - 1) + 4}{100 \times (10 - 1)} \\ &= \frac{(2320 + 4) - 232}{100 \times 9} \\ &= \frac{2324 - 232}{900} {\left( = \frac{2092}{900} = \frac{523}{225} \right)} \end{aligned}$

여기서 마지막 줄 부분을 위와 같이 알고리즘화한 것이다.

[1] 숫자가 아닌 문자에 점이 찍히면 시간에 대해서 미분한다는 의미가 될 수 있지만 이런 표기법은 동역학과 거시경제학 외의 영역에서는 별로 사용되지 않으므로 그닥 신경쓰지는 않아도 된다.[2] 초중고교 시험에서도 이 방법으로 표기해야 한다.[3] 이걸 'bar'라고 하며 윗줄의 경우 'vinculum'이라고도 한다.[4] 당연하지만 이는 십진법을 기반으로 하기 때문에 나타나는 특징이다. 이를테면 주판 등에서 쓰이는 5진법에서의 순환소수는 분모가 5 이외의 소인수를 가지면 모조리 순환소수이고 이진법 역시 분모가 2 이외의 소인수를 가지면 모조리 순환소수가 된다.[5] 즉, 분모의 소인수에 2와 5가 있으면 안 된다.[6] 즉, 분모의 소인수에 2 또는 5가 있어야 한다.[7] 같은 방식으로

0.\dot9

를 유리화 하면

9a=9

\therefore a=1

이므로

0.\dot9=1

이다.

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