번분수

繁分數 / complex fraction

분수의 분자·분모 중 적어도 하나가 분수인 번잡한 분수다. 일반 분수(fraction)와는 달리 분수 안에 분수가 있는 분수다. 변형으로 연분수가 있다. 부분분수와도 관련있다.

분수의 분자나 분모 중 적어도 하나가 번분수인 경우도 번분수이다. 예를 들면 아래와 같다.


0으로 나누기는 정의되지 않으므로 전체 분수의 분모의 값과, 전체 분수의 분자 또는 분모를 구성하는 분수의 분모의 값은 모두 0이 되면 안 된다. 즉, $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}$ 분수에서 b, d는 전체 분수의 분자 또는 분모를 구성하는 분수의 분모이므로 0이 되면 안 되고, c가 0이 되면 전체 분수의 분모가 0이 된다. 번분수 식에서는 가장 위에 있는 수만 0이 될 수 있다고 생각하면 된다.

번분수는 분수의 나눗셈이므로 곱셈으로 바꿔가면서 간단하게 풀 수 있다.

$\dfrac{\dfrac ab}{\dfrac cd}$같은 번분수는 $\dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc=\dfrac{ad}{bc}$로, 나눗셈을 곱셈으로 바꿔 계산하면 된다.

혹은

전체 분수의 분자를 구성하는 분수에서, 분자는 간단히 정리한 후에도 그대로 분자 위치에 남고, 분모는 전체 분수의 분모 위치로 내려간다. 전체 분수의 분모를 구성하는 분수에서, 분자는 간단히 정리해도 그대로 분모 위치에 남고, 분모는 정리하면 분자 위치로 올라간다. 즉, 번분수를 구성하는 작은 분수를 구성하는 수는 그 작은 분수를 기준으로 분자 위치라면 간단히 정리해도 그대로 남고, 분모라면 위치가 바뀐다.

전체 분수, 즉 가장 큰 분수부터 보고, 전체 분수를 구성하는 분자와 분모를 구성하는 분수, 즉 작은 분수를 나중에 본다. 이렇게 분자의 분자, 분자의 분모, 분모의 분자, 분모의 분모라고 나누어 생각하는 것이다. ~의 라는 첫 말 다음에 분자라는 말이 들어가면 그대로, 분모라는 말이 들어갈 때마다 위치가 바뀐다. 분자의 분모는 분모 자리에, 분모의 분모는 분자 자리에 최종적으로 남게 된다. 혹은 전체 말을 기준으로 분모라는 말이 홀수 번 나오면 최종적으로 분모 자리에 들어간다. 분자나 분모가 번분수인 더 복잡한 분수 역시 이러한 방법으로 계산하면 된다.

예를 들어 앞서 본 번분수인 $\displaystyle \frac{\frac{a/b}{c/d}}{\frac{e/f}{g/h}}$라는 분수를 생각하자. 이 분수를 간단히 정리하면 $\frac{adfg}{bceh}$이다. $d$는 분자의 분모의 분모이므로 최종적으로 분자 자리에 들어갔고, $e$는 분모의 분자의 분자이므로 최종적으로 분모 자리로 들어간 것이다.

일반적인 분수는 분모가 1인 경우에서 생략된 것과 같다. 이를 알고 있으면 번분수 계산법을 외우지 않고 역으로 생각해낼 수 있다. 특별한 게 없으면 분수는 위에서부터 계산해야 한다는 것도 알수 있다.
$3=\dfrac31=\dfrac{\dfrac31}{\dfrac11}$
$\dfrac32=\dfrac{\dfrac31}{\dfrac21}$

모든 분수는 $\dfrac{\dfrac ab}{\dfrac cd}$의 모양에서 생략된 것이므로 번분수가 비례식 $a:b=c:d$와 같다는 사실을 이용하면 빠르고 쉽게 계산할 수 있다.

따라서, 내항($b,c$)들의 곱셈과 외항($a,d$)들의 곱셈에서

$\dfrac{\textsf{외항}}{\textsf{내항}}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}$이다.

예시로, 아래와 같이 풀 수 있다.

$\dfrac32=\dfrac{\dfrac31}{\dfrac21}=\dfrac{3\cdot1}{1\cdot2}=\dfrac32$

유클리드 원론 제5권은 이러한 분수와 비례식의 관계에 대해 자세히 다루고 있다.[1]

2001년 중학교 1학년 수학과정에서 빠져 초등학교 6학년 수학에 들어갔으나 2003년 수학과정에서 완전히 빼버렸다. 이로 인해 번분수는 공식적으로 가르치진 않지만, 가끔 분수와 관련된 단원을 공부할 때 학교나 학원 수학 선생님들이 번분수라는 개념이 있다는 것까진 설명해주는 정도다.

그리고 2022 개정 교육과정에서 공통수학2의 유리함수 단원에서 공식적으로 등장한다.

번분수로 정의되는 수학적 이론으로 소수 정리 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{\dfrac x{\ln x}}=1$이 대표적이다.[2]