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Calcolo Scientifico

Profile image of Alfio QuarteroniAlfio Quarteroni

2012, UNITEXT

https://doi.org/10.1007/978-88-470-2745-9
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Autorizza la consultazione della tesi stessa, fatto divieto di riprodurre, in tutto o in parte, quanto in essa contenuto. Dichiara inoltre di autorizzare per quanto necessita l'Università Carlo Cattaneo -LIUC ai sensi della legge n. 196/2003 al trattamento, comunicazione, diffusione e pubblicazione in Italia e all'estero dei propri dati personali per le finalità ed entro i limiti illustrati dalla legge. Dichiaro, inoltre di aver preso atto che, ai sensi della legge 19 aprile 1925, n. 475 tutt'ora in vigore, per gli elaborati presentati agli esami per il conseguimento della laurea si configuri il reato di plagio e che, qualora gli elaborati fossero opera, anche parziale di altri e quindi si manifestasse il plagio, il reato è punito con la reclusione da tre ad un anno.

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2015_Un debito scientifico
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References (96)

  1. 6 Iterazioni di punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
  2. 6.1 Come arrestare un'iterazione di punto fisso . . . . . . 65
  3. 7 Accelerazione con il metodo di Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
  4. 8 Polinomi algebrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.8.1 Il metodo di Hörner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.8.2 Il metodo di Newton-Hörner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
  5. 9 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
  6. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3 Approssimazione di funzioni e di dati f f . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
  7. 1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
  8. 2 Approssimazione con i polinomi di Taylor . . . . . . . . . . . . . 83
  9. 3 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3.1 Interpolazione polinomiale di Lagrange . . . . . . . . . . 85
  10. 3.2 Stabilità dell'interpolazione polinomiale . . . . . . . . . 90
  11. 3.3 Interpolazione rispetto ai nodi di Chebyshev . . . . . 92 3.3.4 Interpolazione trigonometrica e FFT . . . . . . . . . . . . 94
  12. 4 Interpolazione lineare composita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
  13. 5 Approssimazione con funzioni spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
  14. 6 Il metodo dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
  15. 7 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
  16. 8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
  17. Differenziazione ed integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . 115
  18. 1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2 Approssimazione delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
  19. 3 Integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3.1 La formula del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
  20. 3.2 La formula del trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
  21. 3.3 La formula di Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
  22. 4 Formule di quadratura interpolatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
  23. 5 La formula di Simpson adattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
  24. 6 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
  25. 7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
  26. Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2 Sistemi e complessità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3 Il metodo di fattorizzazione LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.4 La tecnica del pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.4.1 Il fill-in di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
  27. 5 Quanto è accurata la risoluzione di un sistema lineare? . . 159
  28. 6 Come risolvere un sistema tridiagonale . . . . . . . . . . . . . . . . 163
  29. 7 Sistemi sovradeterminati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.8 Cosa si nasconde dietro al comando \ . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
  30. 9 Metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.9.1 Come costruire un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . 170
  31. 10 Il metodo di Richardson e del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 175
  32. 11 Il metodo del gradiente coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
  33. 12 Quando conviene arrestare un metodo iterativo . . . . . . . . . 181
  34. 13 Ed ora: metodi diretti o iterativi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
  35. 14 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
  36. 15 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
  37. Autovalori ed autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.2 Il metodo delle potenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.2.1 Analisi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
  38. 3 Generalizzazione del metodo delle potenze . . . . . . . . . . . . . 201
  39. 4 Come calcolare lo shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
  40. 5 Calcolo di tutti gli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
  41. 6 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
  42. 7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
  43. 7 Ottimizzazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.2 Ottimizzazione non vincolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.3 Metodi derivative free f f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
  44. 3.1 I metodi della sezione aurea e dell'interpolazione quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
  45. 3.2 Il metodo di Nelder e Mead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
  46. 4 Il metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
  47. 5 Metodi di discesa o line-search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.5.1 Direzioni di discesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
  48. 5.2 Strategie per il calcolo del passo α k . . . . . . . . . . . . . 231
  49. 5.3 Il metodo di discesa con direzioni di Newton . . . . . 238 7.5.4 Metodi di discesa con direzioni quasi-Newton . . . . 238
  50. 5.5 Metodi di discesa del gradiente e del gradiente coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
  51. 6 Metodi di tipo trust reg e ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
  52. 7 Il metodo dei minimi quadrati non lineari . . . . . . . . . . . . . 250 7.7.1 Il metodo di Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
  53. 7.2 Il metodo di Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . 254
  54. 8 Ottimizzazione vincolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7.8.1 Il metodo di penalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
  55. 8.2 Il metodo della Lagrangiana aumentata . . . . . . . . . 266
  56. 9 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
  57. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
  58. Equazioni differenziali ordinarie ff ff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
  59. 1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
  60. 2 Il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
  61. 3 I metodi di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 8.3.1 Analisi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
  62. 4 Il metodo di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
  63. 5 Zero-stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
  64. 6 Stabilità su intervalli illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.6.1 La regione di assoluta stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
  65. 6.2 L'assoluta stabilità controlla le perturbazioni . . . . 293 8.6.3 Adattività del passo per il metodo di Eulero in avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
  66. 7 Metodi di ordine elevato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
  67. 8 I metodi predictor-corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
  68. 9 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 8.10 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 8.10.1 Il pendolo sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 8.10.2 Il problema dei tre corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 8.10.3 Alcuni problemi stiff i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
  69. 11 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
  70. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
  71. 9 Metodi numerici per problemi ai limiti . . . . . . . . . . . . . . . . 333 9.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 9.2 Approssimazione di problemi ai limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
  72. 2.1 Approssimazione alle differenze finite del problema di Poisson monodimensionale . . . . . . . . . . 337
  73. 2.2 Approssimazione alle differenze finite di un problema di diffusione-trasporto a trasporto dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
  74. 2.3 Approssimazione agli elementi finiti del problema di Poisson monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
  75. 9.2.4 Approssimazione alle differenze finite del problema di Poisson in 2 dimensioni . . . . . . . . . . . . 345
  76. 2.6 Approssimazione alle differenze finite dell'equazione del calore monodimensionale . . . . . . 352
  77. 2.7 Approssimazione ad elementi finiti dell'equazione del calore monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
  78. 3 Equazioni iperboliche: un problema di trasporto scalare . 360 9.3.1 Metodi alle differenze ff ff finite per la discretizzazione dell'equazione scalare iperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . 362
  79. 3.2 Analisi dei metodi alle differenze finite per l'equazione scalare iperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
  80. 9.3.3 Discretizzazione in spazio dell'equazione scalare iperbolica con elementi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
  81. L'equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 9.4.1 Discretizzazione dell'equazione delle onde . . . . . . . . 374
  82. 5 Che cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
  83. 6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
  84. 10 Soluzione degli esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 10.1 Capitolo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 10.2 Capitolo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 10.3 Capitolo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 10.4 Capitolo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 10.5 Capitolo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 10.6 Capitolo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 10.7 Capitolo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 10.8 Capitolo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 10.
  85. 9 Capitolo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
  86. Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
  87. Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 8.4 predcor: un generico metodo predictor-corrector . . . . . . . . . . 309 8.5 feoneste f f p: un passo del metodo di Eulero in avanti . . . . . . . . 310
  88. 6 beonestep: un passo del metodo di Eulero all'indietro . . . . . . 310
  89. 7 cnonestep: un passo del metodo di Crank-Nicolson . . . . . . . . 310
  90. 8 newmark: il metodo di Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
  91. 9 fvin f f c: termine forzante per il problema del pendolo sferico . . 319 8.10 threebody: termine forzante per il problema semplificato dei tre corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
  92. 1 bvp: approssimazione di un problema ai limiti di diffusione, trasporto e reazione con il metodo delle differenze ff ff finite . . . . 339
  93. 2 poissonfd f f : approssimazione del problema di Poisson con condizioni di Dirichlet usando il metodo delle differenz ff ff e finite a 5 punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
  94. 3 heattheta: θ-metodo per l'equazione del calore monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
  95. 9.4 newmarkwave: metodo di Newmark per l'equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 10.1 gausslegendre: formula composita di quadratura di Gauss-Legendre con n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
  96. 2 rk2: metodo di Heun (o RK2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 10.3 rk3: metodo Runge-Kutta esplicito di ordine 3 . . . . . . . . . . . . 422 10.4 neumann: approssimazione di un problema ai limiti di Neumann con diffe ff ff renze finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 10.5 hyper: gli schemi Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff e upwind . . . 433

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RAGIONAMENTO SCIENTIFICO E MATEMATICO
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Frequentemente si sente una citazione riguardo la matematica, ossia che non è un'opinione. Quando un politico fa un comizio e vuole sostenere una tesi, argomenta il suo discorso infittendolo di cifre numeriche e sostiene che ciò che dice, essendo matematico, è necessariamente certo. Anche il grande Dante Alighieri si esprime così: "La matematica è senza macula d'errore e certissima per sé". 1 Questi esempi e moltissimi altri denotano che è consolidata l'opinione secondo cui la matematica è una disciplina certa, indubitabile, infallibile. Il quadro è invece radicalmente diverso. La matematica si sviluppa formulando congetture, proponendo dimostrazioni e analizzando, criticando queste dimostrazioni. Una congettura è in matematica una proposizione dimostrata vera in taluni casi, della quale non si sia riuscito a dimostrare la falsità in nessun caso e che perciò si presume vera in ogni caso. Questa verità però non è stata ancora dimostrata e anche se venisse dimostrata, non è detto che la proposizione sia in eterno vera. Lakatos ci insegna che la congettura di Euler V + S = F + 2, è vera per tutti i solidi platonici e i poliedri "sferoidi", cioè che si possono gonfiare fino a una sfera, ma falsa quando si tende il concetto di poliedro in modo da abbracciare anche le cosiddette "mostruosità", ossia controesempi alla congettura. 2 Quindi anche nella matematica non vi sono verità ultime. Le stesse dimostrazioni matematiche hanno un carattere congetturale e fallibile, a causa del modo stesso con cui procede la concreta indagine matematica. L'indagine matematica è un'attività umana che si colloca nella storia personale del ricercatore, che decide di che problema occuparsi, scegliendo gli strumenti concettuali e la strada da adottare nella sua ricerca. Nell'elaborare le sue riflessioni egli può commettere errori, può avere dei ripensamenti e le dimostrazioni da lui ottenute possono risultare differenti da quelle desiderate o previste. 3 Risultano quindi personali le motivazioni che hanno spinto il ricercatore a compiere un lavoro che in genere riguarda un problema specifico. Il ricercatore dunque elabora delle conoscenze tra cui alcune gli appaiono sufficientemente nuove ed interessanti da essere comunicate con linguaggio matematico, conferendo loro la forma più generale possibile. Nel momento della comunicazione del sapere però il ricercatore trasforma ciò che pensa di aver trovato eliminando il processo di creazione che lo ha portato alle sue scoperte. Elimina inizialmente le riflessioni inutili, gli errori, gli itinerari tortuosi che portano a vicoli ciechi. Sopprime le motivazioni personali che l'hanno condotto a occuparsi di un determinato argomento e successivamente anche il contesto particolare dal quale era partito cercando quello più generale. La descrizione del processo attraverso il quale il ricercatore in matematica arriva a comunicare una scoperta ai suoi colleghi, pur non essendo esauriente, ci serve per capire come viene solitamente svolta una indagine matematica e di come quindi essa sia soggetta a errori. Il ricercatore rende il suo sapere pubblico e quindi utilizzabile e verificabile da chiunque, ma fa scomparire parzialmente o totalmente il contesto della ricerca e della scoperta. L'eliminazione della fase euristica, ossia la fase di scoperta, è dunque un danno e sarebbe utile fare si che il processo di dimostrazione e confutazioni di una congettura andasse di pari passo con quello dei tentativi ed errori. 4 Una teoria matematica, infatti, cresce e si migliora grazie proprio a questo alternarsi di dimostrazioni e confutazioni, senza il quale non sarebbe possibile la crescita. A sostegno del fatto che la matematica sia una disciplina fallibile, sappiamo che nella seconda metà dell'ottocento, a proposito del problema dei fondamenti della matematica, accadde che un nutrito gruppo di studiosi cercò di ridurre la matematica a qualcosa di sicuro, indiscutibile che evitasse ogni

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