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우선 천체와 물체 사이의 중력 외에 다른 외력이 작용하지 않는다고 가정하자.
천체는 대략적으로 구형의 밀도가 균일한 구형 물체라 가정해볼 수 있으므로 천체의 질량이 이고, 반지름이 라 한다면, 천체의 중심에서 만큼 떨어진 질량 , 속력이 인 물체의 역학적 에너지 는 천체의 중력에 의한 중력 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지의 합으로 주어진다.
천체는 대략적으로 구형의 밀도가 균일한 구형 물체라 가정해볼 수 있으므로 천체의 질량이 이고, 반지름이 라 한다면, 천체의 중심에서 만큼 떨어진 질량 , 속력이 인 물체의 역학적 에너지 는 천체의 중력에 의한 중력 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지의 합으로 주어진다.
는 중력 상수이다. 이 물체가 천체의 중력의 영향권에서 벗어나는 것은 천체로 부터 곧 무한히 멀어져 일 때 일 것이다. 이 경우 중력 퍼텐셜 에너지는 0 J[2]이 되므로 이 때 역학적 에너지는
이상을 정리함으로써
우리의 목적은 이러한 조건을 만족시키는 속력 의 최솟값을 찾는 것이고, 퍼텐셜 에너지 항은 조정할 수 없는 것이 없으므로 결국 이 될 때,
행성 표면에 대한 탈출 속도를 생각한다면
으로 쓸 수 있다.
이 결과를 가지고 태양계 일부 구성원에 대한 표면에서의 탈출 속도를 구해보면, 지구 , 달 , 목성 이고, 태양 이며, 지구 궤도에서 태양계 중력권을 탈출할 수 있는 탈출 속도는 이다.
이 결과를 가지고 태양계 일부 구성원에 대한 표면에서의 탈출 속도를 구해보면, 지구 , 달 , 목성 이고, 태양 이며, 지구 궤도에서 태양계 중력권을 탈출할 수 있는 탈출 속도는 이다.
탈출 속도와 유사한 개념으로 우주 속도가 있는데, 제1-3 우주 속도로 3가지로 나뉜다. 이들은 모두 일정한 값을 가지고 있는데, 측정에 필요한 요소들(천체의 질량과 크기, 중력 등등)이 명확하여 수식에 대입해 계산 가능하기 때문이다.
물체가 지구 지표면에서 추락하지 않고, 지구의 중심을 원 궤도의 중심으로 원운동 할 수 있는 최소한의 속력.
물체가 중력 방향에 대하여 이 속력을 가지고 있다면 지구 중심을 공전한다.
지구, 화성, 목성의 제1 우주 속도는 각각 , , 이다.
이것의 유도는 구심력의 크기가 보편 중력의 크기와 같음을 이용한다.
물체가 중력 방향에 대하여 이 속력을 가지고 있다면 지구 중심을 공전한다.
지구, 화성, 목성의 제1 우주 속도는 각각 , , 이다.
이것의 유도는 구심력의 크기가 보편 중력의 크기와 같음을 이용한다.
이것을 정리함으로써 다음을 얻는다.
여기서 볼 수 있듯 물체의 질량은 해당 속력에 관여하지 않는다.
을 만족시킬 때, 물체는 천체를 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 움직이게 된다. 즉, 천체의 중력에 종속되어 있긴 하나 일반적인 원 궤도를 벗어나 더 멀어질 수 있다.
[증명]중심력 문서에 따르면 3차원 상의 외력이 없는 중력장의 운동은 2차원 평면 상으로 기술될 수 있으며, 이때, 투사한 물체의 질량을 환산 질량 으로 대치하여 사용한다. 그러나 우리가 다루는 상황은 행성과 위성 또는 항성과 행성 등 인 상황으로 으로 쓸 수 있다. 이제 궤도의 에서 중력장에 대하여 수직으로 의 속력으로 물체를 투사하는 것을 고려하자. 이때, 물체의 궤도는 원뿔곡선이며, 그 이심률은 이때, 타원 궤도가 되려면, 을 만족해야 하며, 그것은 곧 임을 만족해야하는 것으로 귀착된다. 각운동량 은 보존됨에 따라 의 초기값은 으로 쓸 수 있고, 에너지 또한 보존되므로 초기 에너지를 라 쓰자. 이것을 부등식에 대입하면 이 부등식의 해는 으로 이것이 타원 운동할 조건이 된다. 그러나, 부등식의 해는 도 되는데, 이는 원 운동을 하기에 충분하지 못할 때, 떨어지는 궤도 또한 타원임을 의미한다. |
일반적으로 알려진 제1-3 우주 속도 이외에도 SF의 영역에선 제4-6 우주 속도도 간혹 속도계로 쓰인다.
제1-3 우주 속도가 원궤도 도달속도 → 지구 인력권 탈출 속도 → 태양계 인력권 탈출 속도로 이어지는 것처럼 제4-6 우주 속도는 더 나아가 우리 은하계 인력권 탈출 → 국부 은하군 인력권 탈출 → (모든 천체에 붙잡히지 않고) 변경 우주 진출 속도로 이어지는 식.
이게 가상인 이유는 제1-3 우주 속도와 달리 해당 속도를 구하는데 필요한 질량 등에 관련된 정확한 데이터를 얻을 수 없기 때문에 여전히 미지의 영역인 것이 이유로, 소설이나 영화, 애니메이션 등에서나 다루어지는 속도이다.
더불어 SF 영역에선 단순하게 워프 속도, 초광속같이 속도계로 쓰기에 쉽고 편리한 설정이 있어 탈출 필요속도 단위인 우주속도는 쓰임새도 적고 마이너한 편이라 국내에는 잘 알려져 있지 않다. 그리고 어차피 매스 드라이버 같은 게 아니라면 보통 우주선은 추진력을 꾸준히 내기 때문에 탈출 속도의 의미가 없다.
제1-3 우주 속도가 원궤도 도달속도 → 지구 인력권 탈출 속도 → 태양계 인력권 탈출 속도로 이어지는 것처럼 제4-6 우주 속도는 더 나아가 우리 은하계 인력권 탈출 → 국부 은하군 인력권 탈출 → (모든 천체에 붙잡히지 않고) 변경 우주 진출 속도로 이어지는 식.
이게 가상인 이유는 제1-3 우주 속도와 달리 해당 속도를 구하는데 필요한 질량 등에 관련된 정확한 데이터를 얻을 수 없기 때문에 여전히 미지의 영역인 것이 이유로, 소설이나 영화, 애니메이션 등에서나 다루어지는 속도이다.
더불어 SF 영역에선 단순하게 워프 속도, 초광속같이 속도계로 쓰기에 쉽고 편리한 설정이 있어 탈출 필요속도 단위인 우주속도는 쓰임새도 적고 마이너한 편이라 국내에는 잘 알려져 있지 않다. 그리고 어차피 매스 드라이버 같은 게 아니라면 보통 우주선은 추진력을 꾸준히 내기 때문에 탈출 속도의 의미가 없다.
지구의 탈출 속도를 보면 로 매우 빠른 속력임을 알 수 있는데 실제로 인공 위성 발사 이벤트 등을 보면 상승하는 속도가 그렇게 빠르다는 생각이 들지 않는다. 이는 당연한 것으로 에너지 보존 법칙에 입각하여, 이론상으로만 구성된 논리전개 과정이고 기하학적 원리를 적용해 도출된 특정한 높이 에서는 어떤 속력을 넘겨야만 한다는 정의에 불과한 계산값이며, 또한 현실적으로도 우주발사체에서 구현되는 변동하는 가속도로써 누적시킨 총 에너지와 중계화면 한켠에 출력된 텔레메트리의 속도 현황을 그대로 등가인걸로 받아들일 수 없다는 한계를 짚을 수 있다. 달이나 라그랑주점 L1, L2 너머 여타의 행성으로 탐사선을 보낼 때의 중계화면 역시도 단지, 우주발사체의 속도 성분을 단순히 수치로만 띄워놓는데 그쳐 총 에너지가 0 J을 넘어서는 어떤 순간이 있음에 정보를 띄워 기대시키거나 주목 시키지도 않는다.
로켓 발사 현장 관측은 발사대로부터, 또한 지표면의 관측자로부터 지속적으로 멀어지기에 체감 속도는 계측기계의 측정값과 질적으로 상이할 수 밖에 없는 법. 당연하게도, 대다수의 인공위성 발사 중계 비디오는 sphere of influence (SOI) 혹은 지구 중력장의 속박으로부터 탈출 그 자체를 목적으로 한것도 아니거니와, 단지 대기권을 뚫고서 일정 고도의 아주 조금 미미해진 중력장에 얽매여 유유히 공전하는데에 목적을 둔다. 더군다나 중계화면 한켠에서 출력되는 텔레메트리 정보값도 가만보면 초기에 고도만 높히며 퍼텐셜 에너지를 쌓는데만 드는 추진력부터 바로 우주발사체/로켓 속력값으로 표시된다. 우리가 이론상으로 알고있지만 신경을 쓰지않던 지구 자전의 속도값 약 411 m/s [9] 조차 애초에 누락된 채 기술되지도 않는다는 점까지 들먹일 수 있는 별개의 사안이지만[10], 어쨌든 대다수의 발사 이벤트는 에 미처 도달하기도 전에 종결돼 버리고 만다. 여전히 지구의 SOI 에 얽매인 가깝지만 먼 달을 목적지로 둔 탐사 미션의 경우에도 그 우주선이 회전하는 월면이나 달의 중력장을 관성프레임으로 두면서 속도 정보 등을 기술하는 일반인들에게 공개할 중계 화면은 찾을 수 없다.
여타의 향할때 곧잘 직행하는 궤적를 가진 소수의 미션 중계 비디오도 분명 존재는 하고 텔레메트리 수치를 통해 비교해 볼수도 있겠지만, 필수적인 요소가 아닌걸로 여겨져 누락되기도 하기에 찾는데 진을 빼게 만든다. [11] 따라서, 과장을 조금 섞어서 적어보자면 대학 전공 시험 치를 때 빼곤 무의미한 것이기에, 여기 탈출속도 페이지가 아닌 위키백과 Delta-iv budget 페이지#를 참고하도록 하자. 실제 선진국들의 우주탐사 미션에서 구현되면서 누적된 경험칙( 케미컬 로켓엔진에 기반하는)에서 도출된, 우주 발사체가 지구 중력장이라는 속박을 온전히 벗어나는데 요구되는 최소한의 속도 변화치 량은 를 상회한다. 또한, 우주 발사체를 여타의 행성으로 보낼 시엔 지구가 공전 중인 방향을 이용할 지 말지 여부가 또 역학적으론 고려 대상이 된다.
로켓 발사 현장 관측은 발사대로부터, 또한 지표면의 관측자로부터 지속적으로 멀어지기에 체감 속도는 계측기계의 측정값과 질적으로 상이할 수 밖에 없는 법. 당연하게도, 대다수의 인공위성 발사 중계 비디오는 sphere of influence (SOI) 혹은 지구 중력장의 속박으로부터 탈출 그 자체를 목적으로 한것도 아니거니와, 단지 대기권을 뚫고서 일정 고도의 아주 조금 미미해진 중력장에 얽매여 유유히 공전하는데에 목적을 둔다. 더군다나 중계화면 한켠에서 출력되는 텔레메트리 정보값도 가만보면 초기에 고도만 높히며 퍼텐셜 에너지를 쌓는데만 드는 추진력부터 바로 우주발사체/로켓 속력값으로 표시된다. 우리가 이론상으로 알고있지만 신경을 쓰지않던 지구 자전의 속도값 약 411 m/s [9] 조차 애초에 누락된 채 기술되지도 않는다는 점까지 들먹일 수 있는 별개의 사안이지만[10], 어쨌든 대다수의 발사 이벤트는 에 미처 도달하기도 전에 종결돼 버리고 만다. 여전히 지구의 SOI 에 얽매인 가깝지만 먼 달을 목적지로 둔 탐사 미션의 경우에도 그 우주선이 회전하는 월면이나 달의 중력장을 관성프레임으로 두면서 속도 정보 등을 기술하는 일반인들에게 공개할 중계 화면은 찾을 수 없다.
여타의 향할때 곧잘 직행하는 궤적를 가진 소수의 미션 중계 비디오도 분명 존재는 하고 텔레메트리 수치를 통해 비교해 볼수도 있겠지만, 필수적인 요소가 아닌걸로 여겨져 누락되기도 하기에 찾는데 진을 빼게 만든다. [11] 따라서, 과장을 조금 섞어서 적어보자면 대학 전공 시험 치를 때 빼곤 무의미한 것이기에, 여기 탈출속도 페이지가 아닌 위키백과 Delta-iv budget 페이지#를 참고하도록 하자. 실제 선진국들의 우주탐사 미션에서 구현되면서 누적된 경험칙( 케미컬 로켓엔진에 기반하는)에서 도출된, 우주 발사체가 지구 중력장이라는 속박을 온전히 벗어나는데 요구되는 최소한의 속도 변화치 량은 를 상회한다. 또한, 우주 발사체를 여타의 행성으로 보낼 시엔 지구가 공전 중인 방향을 이용할 지 말지 여부가 또 역학적으론 고려 대상이 된다.
[1] 이름은 탈출 속도이지만, 사실 탈출 속도는 스칼라값이기에 속도보다는 속력이라 보는 게 타당하다.[2] 0 J이 되는 이유는 중력 퍼텐셜 에너지를 구할 때 무한 원점에서 퍼텐셜 에너지를 기준으로 삼은 둔 우리의 목적과 연관이 있다. 퍼텐셜 에너지 문서를 참고하자.[3] 엄밀하게는 속도가 아니라 속력이 맞다.[4] 간단히 말하면, 지구의 지표면에서 탈출 속도 이상의 빠르기로 물체를 쏘아올린 뒤 아무런 추진력을 주지 않고 가만히 두면 이 물체는 지구의 중력이 계속 작용함에도 불구하고 지구를 벗어날 수 있다. 반대로, 아무리 느린 속도로 천천히 이 물체를 쏘아올려도 지속적으로 지구를 탈출하는 방향으로 중력보다 큰 힘의 추진력을 준다면 이 물체는 언젠가는 지구를 탈출한다.[5] 엄밀히 따지면 사건의 지평선 안쪽이 해당된다.[6] 제1 우주 속도는 지구 궤도에서의 원운동에 필요한 최소 속도를 의미하므로 는 천체마다 다르다.[7] 다만 태양계에서는 지구의 중력권에서 벗어나는 즉시 태양의 중력권에 들어간다.[8] 태양에 대해 30 km/s 속도로 공전하고 있다.[9] 가장 많은 발사가 이루어지는 플로리다 케이프 커내버럴 발사장 기준[10] ECI 프레임에서 기술되는 orbital state vector[11] 업데이트 되던 속도가 없어지면서, 지금 로켓엔진을 죽인다면 결정 될 궤도의 Apogee와 Perigee 고도 값으로 대체된다
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