Metode Secant

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karuniaNya sehingga penyusun dapat menyelesaikan makalah Metode Newton Raphson dan Metode Secant dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan. Makalah ini dibuat dalam rangka untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik. Dalam membuat makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang kami miliki, kami berusaha mencari sumber data dari berbagai sumber informasi, terutama dari buku dan media internet. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan. Dalam penulisan Makalah ini kami merasa masih banyak kekurangankekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang kami miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini. Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca. Yogyakarta,

Todo o conteúdo deste livro está licenciado sob uma Licença de Atribuição Creative Commons. Atribuição 4.0 Internacional (CC BY 4.0). O conteúdo dos artigos e seus dados em sua forma, correção e confiabilidade são de responsabilidade exclusiva dos autores. Permitido o download da obra e o compartilhamento desde que sejam atribuídos créditos aos autores, mas sem a possibilidade de alterá-la de nenhuma forma ou utilizá-la para fins comerciais.

Microsoft Excell (MS Excell) adalah suatu program aplikasi lembar kerja yang sangat populer. MS Excell dijalankan pada microsoft Window dan digunakan pada komputer mikro. Pada tulisan ini dibahas aplikasi MS Excell untuk program penentuan nilai perbandingan emas (golden ratio) menggunakan persamaan kuadrat metode numerik. Metode numerik yang digunakan adalah metode bagi dua (bisection metohod), metoda posisi palsu (false position method), metode iterasi titik-tetap (fixed-point iteration), metode Newton-Raphson dan metode garis potong (secant method). Hasil simulasi didapatkan bahwa MS. Excel dapat digunakan untuk melakukan penghitungan akar persamaan nonlinier sampai ketelitian 15 digit di belakang koma dan dengan nilai kesalahan (eror) sampai 30 digit di belakang koma. Hasil perhitungan pada semua metode numerik didapatkan bahwa nilai perbandingan emas adalah 1,618033988749890 dengan nilai eror 1x10 -15 .

The purpose of this to produce efficient numerical methods with the same order of accuracy as that of the main starting values for exact solutions of fourth order differential equation without reducing it to a system of first order differential equations. The methods of the differential systems arising from the approximate solution to the problem are adopted using the Runge-Kutta method and stages. The methods were compared and contrasted based on the results obtained. The comparison shows that Euler method gives accurate approximate result than Runge-Kutta method. After the derivation of the formulae of O(h 2), the comparison was done in regards to identify the formula with higher accuracy.

Este artigo contém uma aplicação dos teoremas de Fermat e Rolle à função da diferença entre a função f (x) = x^n e uma reta secante à referida função.
Um dos principais resultados dessa aplicação é o último teorema de Fermat generalizado para todos os reais algébricos para a,c,b,n sendo a^n=c^n+n(a-c)b^(n-1).

Palavras-chave: teorema de Fermat; teorema de Rolle; derivada; função; zero da função.

Penentuan akar suatu persamaan berarti membuat persamaan tersebut sama dengan nol f(x)=0. Beberapa metode numerik bisa digunakan untuk menentukan akar persamaan yang bentuknya sangat kompleks. Akan tetapi untuk akar ganda, beberapa metode numerik seperti metode bisection, metode regulafalsi, metode Newton-Raphson, metode Secant memiliki kesulitan. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh penentuan nilai awal pada metode Newton-Raphson yang dimodifikasi dalam mementukan akar persamaan yang memiliki akar ganda. Simulasi dilakukan pada persamaan yang memiliki 1 akar tunggal dan 2 akar ganda atau lebih. Dengan metode Newton-Raphson nilai awal yang dipilih dekat dengan akar tunggal maka akarnya terletak pada sekitar atau sama dengan akar tunggal. Namun dengan metode Newton-Raphson yang dimodifikasi pemilihan nilai awal lebih dekat dengan akar tunggal, nilai akar yang dihasilkan menunjuk pada akar ganda.

Penentuan akar suatu persamaan berarti membuat persamaan tersebut sama dengan nol f(x)=0. Beberapa metode numerik bisa digunakan untuk menentukan akar persamaan yang bentuknya sangat kompleks. Akan tetapi untuk akar ganda, beberapa metode numerik seperti metode bisection, metode regulafalsi, metode Newton-Raphson, metode Secant memiliki kesulitan. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh penentuan nilai awal pada metode Newton-Raphson yang dimodifikasi dalam mementukan akar persamaan yang memiliki akar ganda. Simulasi dilakukan pada persamaan yang memiliki 1 akar tunggal dan 2 akar ganda atau lebih. Dengan metode Newton-Raphson nilai awal yang dipilih dekat dengan akar tunggal maka akarnya terletak pada sekitar atau sama dengan akar tunggal. Namun dengan metode Newton-Raphson yang dimodifikasi pemilihan nilai awal lebih dekat dengan akar tunggal, nilai akar yang dihasilkan menunjuk pada akar ganda.

In recent times, the derivation of Runge-Kutta methods based on averages other than the arithmetic mean is on the rise. In this paper, the authors propose a new version of explicit Runge-Kutta method, by introducing the harmonic mean as against the usual arithmetic averages in standard Runge-Kutta schemes.

Penyelesaian masalah matematika menggunakan metode numerik selalu akan mendapatakan solusi. Namun, jika metode tersebut dilakukan secara manual akan memerlukan sumber daya yang lebih banyak karena dengan metode numerik kita akan menyelesaikan dengan perhitungan rumit dan perulangan yang banyak. Untuk itu perlu menggunakan bantuan komputer untuk menyelesaikannya. Ada banyak software komputer yang dapat digunakan dalam membantu perhitungan seperti maple, c++, microsoft excel, matlab dan lainnya.
Salah satu permasalahan yang akan menjadi rumit jika menggunakan metode analitik yaitu menentukan akar suatu persamaan. Beberapa persamaan sederhana seperti persamaan kuadrat mungkin akan mudah jika dilakukan dengan metode analitik, akan tetapi untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi atau suatu persamaan yang rumit akan sulit menentukan akarnya menggunakan metode analitik. Metode pencarian akar persamaan tersebut dapat dilakukan menggunakan metode numerik salah-satunya dengan metode Newton-Raphson dan metode Secant Tapi tetap saja masih punya kekurangan yaitu memerlukan waktu  yang cukup banyak sehigga memerlukan bantuan software komputer(praktikum kali ini menggunakan matlab 2017a)

• Bentuk umum polinom adalah dengan n ≠ 0. Polinom tersebut dikatakan polinim berderajat n, dimana n adalah pangkat tertinggi dari polinom • Sebagai contoh diberikan polinom maka polinom ini dinamakan polinom berderajat 4. Koefisien adalah angka -angka di depan variable sehingga angka -angka 5, 2 , -6, dan 8 berturut -turut adalah koefisien suku ke 1, 2 ,3 dan 4 sedangkan -7 adalah konstanta •

Teknik untuk menyelesainakn permasalahan – permasalahan yang di rumuskan
secara matematik dengan caraa operasi hitung (arithmetic) yang dinamakan metode
numerik. Berbagai permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi dapat
digambarkan dalam bentuk persamaan matematik. Apabila persamaan tersebut
mempunyai bentuk sederhana, penyelesaiannya dapat dilakukan secara analitis, sehingga
penyelesaiannya dilakukan secara numerik. Hasil dari penyelesaian numerik merupakan
nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitik atau eksak. Karena merupakan
nilai pendekatan, maka terdapat kesalahan terhadap nilai eksak. Nilai kesalahan tersebut
harus cukup kecil terhadap tingkat kesalahan yang ditetapkan.
Dalam metode terdapat beberapa bentuk proses hitungan atau algoritma untuk
menyelesaikan suatu tipe persamaan matematik. Hitungan numerik dapat dilakukan
dengan dengan menggunakan salah satu dari bentuk proses hitungan yang paling efisien
yang memerlukan waktu hitungan paling cepat. Operasi hitungan dilakukan iterasi dalam
jumalah yang sangat banyak dan berulang – ulang. Oleh karena itu perlu bantuan
komputer untuk menyelesaikan operasi hitungan tersebut. Tanpa bantuan komputer
metode numerik tidak banyak memberikan mafaat.

Pada metode Biseksi dan Regula Falsi diperlukan dua titik awal dengan nilai fungsi yang berbeda tanda. Penentuan dua titik awal yang demikian seringkali tidak mudah. Oleh karena itu dikembangkan metode yang titik awalnya lebih mudah ditentukan, salah satunya metode Newton. Metode Newton termasuk metode terbuka dan hanya memerlukan satu titik awal. Selain itu, metode ini banyak digunakan dalam terapan sain dan rekayasa karena konvergensinya paling cepat di antara metode-metode lain. Ada dua cara pendekatan dalam mencari rumus metode Newton, yaitu secara geomerti dan dengan menggunakan deret Taylor.

Prosedur iterasi metode Newton-Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi ( f'(x)). Namun, tidak semua fungsi mudah dicari turunannya, terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekuivalen. Modifikasi metode Newton-Raphson ini dinamakan Metode Secant.

 Metode Tertutup  Mencari akar pada range [a,b] tertentu  Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar  Hasil selalu konvergen  disebut juga metode konvergen  Metode Terbuka  Diperlukan tebakan awal Theorema  Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0  Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut: Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar. Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.

Metode Euler adalah metode yang paling sederhana. Metode ini sangat kurang teliti dibandingkan dengan metode lainnya, namun metode ini perlu dipelajari dan dipahami tujuannya antara lain adalah untuk memudahkan dalam mempelajari dan memahami metode lain yang lebih teliti.

1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persoalan matematika di bidang teknik sering dijumpai persamaan-persamaan non-linear. Fungsi-fungsi f(x) bisa berbentuk persamaan aljabar, persamaan polynomial, persamaan trigonometri, persamaan transendental. Mencari akar persamaan-persamaan tersebut berarti membuat persamaan itu menjadi nol, f(x)=0. Tidak semua persamaan yang ada bisa diselesaikan dengan mudah menggunakan teori matematika. Sering menggunakan pendekatan metode numerik dalam penyelesaiannya. Beberapa metode numerik yang sering digunakan mencari akar persamaan adalah metode Newton-Raphson dan metode Secant. Kedua metode ini merupakan metode terbuka. Metode Newton-Raphson menggunakan turunan fungsi dalam mencari akar persamaan linear. Sementara metode Secant merupahakn pengembangan dari metode Newton-Raphson dalam menangani kesulitan mencari turusan sebuah fungsi. Metode Newton-Raphson dan metode Secant memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Perbandingan ini ditinjau dari segi kecepatan konvergensi dalam mencari akar persamaan. Kelebihan dan kekurangan ini masih pada pencarian akar tunggal sebuah fungsi persamaan linear. Dalam kenyaataannya persamaan matematika maupun persamaan di bidang teknik, sering menemukan akar ganda. Baik akar ganda yang memiliki dua buah maupun yang memiliki lebih dari dua akar ganda. Dalam perkembangan selanjutnya, metode Newton-Raphson dan metode Secant dimodifikasi. Tujuan dari modifikasi ini untuk mencari akar ganda sebuah persamaan linear. Selanjutnya, bagaimana perbandingan kinerja metode Newton-Raphson yang dimodifikasi dengan metode Secant yang dimodifikasi dalam mencari akar ganda sebuah fungsi linear. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian pada latar belakang, rumusan masalah dalam penelitian ini: 1. Bagaimana perbandingan kinerja metode Newton-Raphson yang dimodifikasi dan metode Secant yang dimodifikasi dalam mencari akar ganda sebuahfungsi persamaan non-linear. 2. Bagaimana perbandingkan kinerja metode Newton-Raphson dan metode Secant dengan metode Newton-Raphson yang dimodifikasi dan metode Secant yang dimodifikasi dalam mencari akar ganda sebuah fungsi persamaan non-linear. 3. Bagaimana pembuktian kesulitan metode Newton-Raphson dan metode Secant dalam mencari akar ganda sebuah fungsi persamaan non-linear.

Integral merupakan perhitungan kalkulus untuk mengetahui luasan tertentu. Diantara beberapa metode untuk menghitung integral yaitu dengan menggunakan metode trapezoidal, simpson 1/3, dan simpson 3/8.
Implementasi perhitungan integral dilakukan di visual studio C#

Abstrak: Penentuan akar suatu persamaan berarti membuat persamaan tersebut sama dengan nol f(x)=0. Beberapa metode numerik bisa digunakan untuk menentukan akar persamaan yang bentuknya sangat kompleks. Akan tetapi untuk akar ganda, beberapa metode numerik seperti metode bisection, metode regulafalsi, metode Newton-Raphson, metode Secant memiliki kesulitan. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh penentuan nilai awal pada metode Newton-Raphson yang dimodifikasi dalam mementukan akar persamaan yang memiliki akar ganda. Simulasi dilakukan pada persamaan yang memiliki 1 akar tunggal dan 2 akar ganda atau lebih. Dengan metode Newton-Raphson nilai awal yang dipilih dekat dengan akar tunggal maka akarnya terletak pada sekitar atau sama dengan akar tunggal. Namun dengan metode Newton-Raphson yang dimodifikasi pemilihan nilai awal lebih dekat dengan akar tunggal, nilai akar yang dihasilkan menunjuk pada akar ganda.. Kata Kunci: Metode Newton-Raphson; Metode Newton-Raphson Modifikasi; akar persamaan; akar ganda.