Foundations of Analytical Mechanics

Questa è una trascrizione quasi letterale della mia copia dattiloscritta e ciclostilata degli appunti del prof. Strocchi, utilizzati a Pisa nell’Anno Accademico 1974/75 accanto al Goldstein per il corso di Meccanica Analitica rivolto agli studenti del secondo anno. In questa trascrizione, oltre a correggere vari refusi ed errori di stampa, ho aggiunto delle note e reso espliciti alcuni passaggi matematici.

Come è noto la meccanica classica porta a descrivere la traiettoria dei pianeti come curve chiuse su se stesse di tipo ellittico. L’osservazione astronomica mostra invece che tali ellissi precessano lentamente dando luogo a traiettorie “a rosetta”. Un modello matematico che supporti questa evidenza sperimentale può essere ottenuto grazie alla relatività ristretta, mediante la quale si può costruire un modello più complesso ma più aderente al reale, che chiameremo modello RR. Con questo modello, tuttavia, l’angolo di precessione risulta pari a un sesto del valore vero. Per porre rimedio a questa discrepanza tra modello e realtà, si può ricorrere alla teoria della relatività generale. La scoraggiante complessità di questa teoria però stimola la ricerca di strade più semplici per lo studio del fenomeno. In questo articolo si propone una semplice variante del modello RR che porta ad una valutazione più accurata della precessione. Precisamente si ipotizza che la massa gravitazionale del corpo orbitante cresca con la velocità secondo il fattore di Lorentz. Grazie al nuovo modello, che chiameremo RR2, l’errore di valutazione della precessione si dimezza (un terzo del valore vero).

In this paper of "The Epistemology of Contemporary Physics" series we investigate the epistemological significance and sensibility (and hence interpretability and interpretation) of classical mechanics in its Newtonian and non-Newtonian formulations. As we will see, none of these formulations provide a clear and consistent framework for understanding the physics which they represent and hence they all represent valid formalism without proper epistemology or sensible interpretation.

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In questa tesi viene presentata la rappresentazione geometrica dello spaziotempo, degli osservatori e dei sistemi di riferimento. Studiamo come formalizzare il modello di materia e le leggi fisiche che ne governano il comportamento, attraverso gli strumenti della geometria differenziale, giungendo alle equazioni di campo di Einstein. Successivamente presentiamo le metriche che costituiscono alcune delle soluzioni esatte fondamentali. Dopo aver introdotto lo spaziotempo di Minkowski, approfondiamo l’analisi della soluzione di Schwarzschild, comprendendo come le singolarita possano essere effettive, nel caso del buco nero, o eludibili con opportuni cambi di coordinate, nel caso dell’orizzonte degli eventi. Infine indaghiamo la soluzione che descrive lo spaziotempo in presenza di un buco nero rotante, ovvero la metrica di Kerr. Per ciascuna di queste soluzioni, presentiamo il procedimento per la costruzione dei diagrammi di Penrose: si tratta di rappresentazioni grafiche, ottenute dall...

Principio di massimo gencralizzato e valutazione del primo autovalore per problemi ellittici dcl secondo ordine di tipo variazionale. MAURIZlO 0HICCO (Genova) (*) (**) Summary.-I p~'ove a generalized maximum pri~w/ple and an evaluotion of the first ein. genvatue for linear second order elliptic parfial differe~,tiat equation,s in diverge~we form with discontinuous coefficients.

According to Magri's work, the geometrical place of the theory of completely integrable systems is a differentiable manifold M together with two "compatible" Poisson tensors P and Q, that is, their Schouten bracket [P, Q] should be zero. If Q is invertible, the field of endomorphisms h= PQ-' is called a recursion operator. The first step in the study of integrable systems is to see if it is possible to reduce the system in such a way that one obtains a differentiable manifold endowed with two compatible Poisson tensors one of which is invertible. In this article we show that if P(Ker Q) c Q(Ker P) then the reduction in question is possible.

Luglio 2006 0. Introduzione Negli ultimi trent'anni la teoria dei sistemi dinamici, nelle sue mille sfaccettature,è diventata uno dei campi di punta della matematica contemporanea, con numerose applicazioni, matematiche e non. Uno dei motivi dell'interesse suscitato dai sistemi dinamiciè che si tratta di un tipico campo di frontiera, in cui sono utilizzate tecniche prese a prestito (e spesso restituite migliorate) da tutta la matematica, dalla teoria dei numeri alla teoria della misura, dalla geometria differenziale alla geometria degli spazi di Banach, dalle equazioni differenziali ordinarie alle equazioni coomologiche, e così via. I problemi affrontati nella teoria dei sistemi dinamici sono spesso semplici da spiegare, e di interesse evidente; le soluzioni trovate sono spesso profonde e complesse, con enunciati eleganti e dimostrazioni lunghe decine e decine di pagine. Una situazione ideale per lavorarci, molto meno per scrivere un articolo di rassegna. L'ottima "Introduzione alla teoria moderna dei sistemi dinamici" di Katok e Hasselblatt [HK] consta di più di 800 paginescritte con uno stile conciso e saltando diversi argomenti pure importanti.. . L'unica via possibile per rimanere all'interno di un numero ragionevole di pagine consiste nello scegliere un aspetto particolare dell'intera teoria e concentrarsi su quello, puntando sul fatto che il processo metonimico funzioni abbastanza da fornire una sia pur vaga idea dell'argomento nel suo complesso. All'interno della teoria dei sistemi dinamici ci sono delle suddivisioni naturali, che suggeriscono possibili scelte di argomenti. La prima grossa dicotomiaè discreto/continuo. Un sistema dinamicoè (in parole molto povere) un sistema che varia nel tempo secondo una legge ben definita. Se permettiamo al sistema di evolvere solo in istanti temporali discreti, per cui la legge di evoluzioneè rappresentata da una funzione iterata a intervalli regolari, si parla di sistema dinamico discreto; se invece il sistema si evolve in continuazione, per cui la legge di evoluzioneè (usualmente) rappresentata da un'equazione differenziale ordinaria (da un campo vettoriale), si parla di sistema dinamico continuo. La teoria dei sistemi dinamici, sia discreti sia continui, si occupa quindi di oggetti ben noti e studiati anche precedentemente; funzioni di varia regolarità in un caso, equazioni differenziali nell'altro. Quello che (come vedremo) contraddistingue i sistemi dinamici da altre teorie matematiche non sono gli oggetti di studio ma il tipo di domande che ci si pone. Non ci interessa sapere se un certo tipo di equazione differenziale ha o meno soluzione; ci interessa studiare l'evoluzione qualitativa nel tempo (il comportamento asintotico) delle soluzioni. Vale la pena osservare fin da subito che la dicotomia discreto/continuo nonè (come le altre dicotomie che incontreremo) rigida. Ci sono tecniche standard per associare un sistema dinamico discreto a uno continuo, e viceversa; e nonè raro che i risultati ottenuti in un settore abbiano analogie/applicazioni/ispirazione nell'altro. Un'altra dicotomia importanteè quella locale/globale. Il comportamento dinamico più semplice possibilè e quello in cui non si muove nulla: un punto fisso di una funzione nel caso discreto, uno zero di un campo vettoriale nel caso continuo. La dinamica locale si occupa di studiare cosa succede vicino a questi punti; la dinamica globale si occupa invece di studiare il comportamento asintotico su tutta la varietà in cuiè definito il sistema dinamico. Di nuovo,è chiaro che lo studio locale influenza la dinamica globale; viceversa, a volte capita che per risolvere questioni locali sia necessario utilizzare tecniche di natura più globale. Infine, un'ulteriore suddivisione naturaleè causata dal grado di regolarità del sistema dinamico che si studia: di classe C ∞ o solo misurabile, olomorfo o analitico reale o solo continuo, e così via. Molto spesso, le domande nei vari casi sono le stesse; le risposte invece possono cambiare radicalmente. In questo articolo cercherò di dare un'idea dello stato attuale della teoria dei sistemi dinamici discreti olomorfi locali in una e più variabili complesse. Nata più o meno in contemporanea con la nascita dell'intera

Luglio 2006 0. Introduzione Negli ultimi trent'anni la teoria dei sistemi dinamici, nelle sue mille sfaccettature,è diventata uno dei campi di punta della matematica contemporanea, con numerose applicazioni, matematiche e non. Uno dei motivi dell'interesse suscitato dai sistemi dinamiciè che si tratta di un tipico campo di frontiera, in cui sono utilizzate tecniche prese a prestito (e spesso restituite migliorate) da tutta la matematica, dalla teoria dei numeri alla teoria della misura, dalla geometria differenziale alla geometria degli spazi di Banach, dalle equazioni differenziali ordinarie alle equazioni coomologiche, e così via. I problemi affrontati nella teoria dei sistemi dinamici sono spesso semplici da spiegare, e di interesse evidente; le soluzioni trovate sono spesso profonde e complesse, con enunciati eleganti e dimostrazioni lunghe decine e decine di pagine. Una situazione ideale per lavorarci, molto meno per scrivere un articolo di rassegna. L'ottima "Introduzione alla teoria moderna dei sistemi dinamici" di Katok e Hasselblatt [HK] consta di più di 800 paginescritte con uno stile conciso e saltando diversi argomenti pure importanti.. . L'unica via possibile per rimanere all'interno di un numero ragionevole di pagine consiste nello scegliere un aspetto particolare dell'intera teoria e concentrarsi su quello, puntando sul fatto che il processo metonimico funzioni abbastanza da fornire una sia pur vaga idea dell'argomento nel suo complesso. All'interno della teoria dei sistemi dinamici ci sono delle suddivisioni naturali, che suggeriscono possibili scelte di argomenti. La prima grossa dicotomiaè discreto/continuo. Un sistema dinamicoè (in parole molto povere) un sistema che varia nel tempo secondo una legge ben definita. Se permettiamo al sistema di evolvere solo in istanti temporali discreti, per cui la legge di evoluzioneè rappresentata da una funzione iterata a intervalli regolari, si parla di sistema dinamico discreto; se invece il sistema si evolve in continuazione, per cui la legge di evoluzioneè (usualmente) rappresentata da un'equazione differenziale ordinaria (da un campo vettoriale), si parla di sistema dinamico continuo. La teoria dei sistemi dinamici, sia discreti sia continui, si occupa quindi di oggetti ben noti e studiati anche precedentemente; funzioni di varia regolarità in un caso, equazioni differenziali nell'altro. Quello che (come vedremo) contraddistingue i sistemi dinamici da altre teorie matematiche non sono gli oggetti di studio ma il tipo di domande che ci si pone. Non ci interessa sapere se un certo tipo di equazione differenziale ha o meno soluzione; ci interessa studiare l'evoluzione qualitativa nel tempo (il comportamento asintotico) delle soluzioni. Vale la pena osservare fin da subito che la dicotomia discreto/continuo nonè (come le altre dicotomie che incontreremo) rigida. Ci sono tecniche standard per associare un sistema dinamico discreto a uno continuo, e viceversa; e nonè raro che i risultati ottenuti in un settore abbiano analogie/applicazioni/ispirazione nell'altro. Un'altra dicotomia importanteè quella locale/globale. Il comportamento dinamico più semplice possibilè e quello in cui non si muove nulla: un punto fisso di una funzione nel caso discreto, uno zero di un campo vettoriale nel caso continuo. La dinamica locale si occupa di studiare cosa succede vicino a questi punti; la dinamica globale si occupa invece di studiare il comportamento asintotico su tutta la varietà in cuiè definito il sistema dinamico. Di nuovo,è chiaro che lo studio locale influenza la dinamica globale; viceversa, a volte capita che per risolvere questioni locali sia necessario utilizzare tecniche di natura più globale. Infine, un'ulteriore suddivisione naturaleè causata dal grado di regolarità del sistema dinamico che si studia: di classe C ∞ o solo misurabile, olomorfo o analitico reale o solo continuo, e così via. Molto spesso, le domande nei vari casi sono le stesse; le risposte invece possono cambiare radicalmente. In questo articolo cercherò di dare un'idea dello stato attuale della teoria dei sistemi dinamici discreti olomorfi locali in una e più variabili complesse. Nata più o meno in contemporanea con la nascita dell'intera

We find the precise number of non-Kähler SO(2n)-invariant Einstein metrics on the generalized flag manifold M = SO(2n)/U (p) × U (n − p) with n ≥ 4 and 2 ≤ p ≤ n−2. We use an analysis on parametric systems of polynomial equations and we give some insight towards the study of such systems. We also examine the isometric problem for these Einstein metrics.

As a preliminary step to study magnetic field lines, we seek numerical schemes that reproduce at discrete level the significative features of the continuous model, based on an underlying Lagrangian structure. The resulting schemes give discrete counterparts of the variation law for the energy as well as of the Euler-Lagrange equations and their symmetries.

As a preliminary step to study magnetic field lines, we seek numerical schemes that reproduce at discrete level the significative features of the continuous model, based on an underlying Lagrangian structure. The resulting schemes give discrete counterparts of the variation law for the energy as well as of the Euler-Lagrange equations and their symmetries.

In this paper, we present a method utilizing redundant manipulator analogs for formation control of underactuated autonomous surface vessels (ASVs) with realistic turning constraints and dynamics. The method used relies on casting the swarm as a single entity and utilizing redundant manipulator techniques to guarantee task-level formation control as well as obstacle avoidance and secondary tasks such as mean position control. The method presented differs from other approaches in that the units herein represent a larger class of ASVs with realistic limitations on vessel motions and that the exact position of each of the units on the formation profile is not specified.

The long-term goals of this project are to develop and implement theoretically justified, yet practical, control algorithms required for deployment of platoons of cooperating unmanned underwater vehicles. OBJECTIVES The primary objective of this effort is to develop a methodology for the synthesis of centralized control algorithms that generate multi-objective behaviors for a platoon of vehicles, and may potentially be distributed among a swarm of UUVs. Based on achieved centralized performance, a secondary objective is to generate decentralized versions of these algorithms for a platoon of UUVs with minimal inter-vehicle communication requirements. APPROACH Our approach is twofold. First, we are developing theoretically-justified control algorithms for UUVs and demonstrating their effectiveness via computer simulation. Second, we are building a platoon of very simple and inexpensive ground-based mobile robots for hardware-based verification of our results. Throughout, limited communication constraints are a primary focus. 15. SUBJECT TERMS 16. SECURITY CLASSIFICATION OF: 17. LIMITATION OF ABSTRACT Same as Report (SAR) 18. NUMBER OF PAGES 6 19a. NAME OF RESPONSIBLE PERSON

La Teoria delle Stringhe è un candidato ideale per costituire una 'Teoria del Tutto', cioè una teoria unificata che comprenda in qualche modo tutte le altre. Dovendo avere validità universale, essa deve spiegare tutte le interazioni fondamentali e, ovviamente, essere consistente con la Meccanica Quantistica. In particolare, quindi, deve rispondere al grande problema di conciliare la teoria quantistica con la gravitazione. Inoltre, le particelle fondamentali e le loro interazioni devono emergere da essa ed essere descritte in modo consistente con il Modello Standard. Per fare questo, la Teoria delle Stringhe fa uso di uno spazio a dieci dimensioni anziché delle sole tre 'classiche'. La teoria si costruisce a partire dall'esistenza delle stringhe, entità fondamentali che possono vibrare e, con modi vibrazionali diversi, dare origine a particelle fondamentali diverse. Le stringhe possono essere aperte (se hanno due estremi) o chiuse (se sono richiuse su sé stesse). ...

I am very grateful that prof.dr. Henk Nijmeijer and prof.dr. Kristin Y. Pettersen have given me the opportunity to do my second traineeship in Norway on the subject of synchronization control of ship rendezvous operations. I like to thank prof.dr. Kristin Y. Pettersen for her hospitality, her enthusiasm, her advice and comments and all the other things she arranged for me during my stay in Norway. This applies also t o siv.ing. Erik Kyrkjebm and siv.ing. Roger Skjetne, who helped me a lot during this project. Every question I had, I could ask to one of them. It has been a great pleasure to work in this group. I like to thank prof.dr. Henk Nijmeijer for his very nice contribution on the CAMS article, which was maybe the finishing touch we needed. I should thank all the people in my office as well. Espen, Andreas and Anne Marthine for their friendship and nice talks during the lunch and dinner.

In quest'articolo studiamo la computabilità dei sistemi dinamici a tempo continuo governati da un'equazione differenziale del primo ordine non omogenea e autonoma, il cui termine notoè una funzione onesta. Dimostreremo che tali sistemi sono computabili, nel senso che la loro evoluzione dinamicà e riprodotta dall'iterazione di una funzione ricorsiva. Verrà estesa la computabilità ai sistemi per i quali il termine noto nonè una funzione onesta, dimostrando che essi sono computabili in intervalli non contenenti punti di flesso a tangente verticale del diagramma cartesiano della stato del sistema in funzione del tempo.

Parametric studies have received significant attention in several areas such as mechanical design and sensitivity analysis for simulation and control of robotic devices. Design sensitivity analysis methods for dynamic systems have been investigated intensively. Such an analysis is usually performed based on the evaluation of the derivatives of kinematic and kinetic quantities, objective functions, or performance criteria with respect to the design parameters. In this context, both direct and adjoint differentiations have been exploited. The first author of this paper has developed previously a novel approach which belongs to a totally different category [7, 8]. This approach is based on the reformed equations of motion which are linearized in terms of the inertial parameters. Based on an eigenvalue analysis, directions of the parameter space along which maximum/minimum changes can be achieved on the dynamics of the system, are obtained. Here, in this paper, we develop a hybrid appro...

In questa tesi verrà analizzata la dinamica dei sistemi conservativi a infiniti gradi di libertà, descritti dai campi. Verrà utilizzato l'approccio della meccanica lagrangiana, in cui, partendo da un principio, il principio di minima azione, si arriverà alla scrittura delle equazioni del moto, dette equazioni di Eulero-Lagrange, governate da una funzione, detta Lagrangiana. Successivamente si descriverà il formalismo hamiltoniano, in cui le equazioni di Eulero-Lagrange verranno riscritte in nuove coordinate, e interverrà una nuova funzione, detta Hamiltoniana. Verrà inoltre affrontato un altro argomento, in cui si vedranno quantità del sistema che si conservano nel tempo. Questa legge di conservazione, descritta dal Teorema di Noether, è dovuta a simmetrie della Lagrangiana, ovvero a trasformazioni continue delle coordinate del sistema che lasciano la Lagrangiana invariata. Ad ogni simmetria della Lagrangiana corrisponde una quantità conservata. Infine, per concludere, verrà app...

In tale elaborato si presenta il concetto di fase geometrica, definendolo e studiandone le proprietà. Tale fase geometrica è un fattore del tipo $e^{i\gamma}$ che la funzione d'onda di sistemi quantistici accumula dopo una particolare evoluzione del sistema. La caratteristica principale di tali fasi è che dipendono soltanto dalla geometria del problema e non dalla sua dinamica. Verranno presentati esempi come l'effetto di Aharonov-Bohm e il caso di uno spin in un campo magnetico lentamente variabile. Verranno inoltre presentati argomenti precursori della fase di Berry come la fase di Pancharatnam e l'analogo classico per la fase di Berry che è l'angolo di Hannay. Le fasi geometriche emergono quando una certa grandezza viene trasportata parallelamente in un certo spazio. Il trasporto parallelo è un concetto che viene generalizzato e definito nella teoria dei fibrati per cui si spiegherà come tali fasi possano essere inglobate nella teoria matematica dei fibrati

Il nostro lavoro si basa sul mostrare le relazioni tra Teoria di Morse continua e Teoria di Morse discreta. Per fare ciò inizieremo introducendo la Teoria di Morse continua basandoci prevalentemente sui lavori di Milnor degli anni ’50-’60 dello scorso secolo. In tale introduzione i nostri oggetti di studio saranno le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili su di esse che non posseggono punti critici degeneri. Data una varietà (differenziabile) M, la Teoria di Morse continua ci fornisce risultati interessanti dal punto di vista del tipo di omotopia di M, in particolare ci dice che se indichiamo con m(i) il numero di punti critici di indice i allora M è omotopicamente equivalente a un CW-complesso costituito da m(i) celle i-dimensionali ed è da tale risultato che ricaveremo inoltre le importanti Disuguaglianze di Morse, le quali ci forniscono un limite superiore per i numeri di Betti di M. Sarà nostro compito nel primo capitolo introdurre inoltre il potente strumento del...

Recent developments in maneuvering control of marine surface vessels have shown promising results. In this paper maneuvering of a towed body is addressed. The body may be actuated by a connection to a towing vessel or by local control forces. Actuation by connection forces are performed by tracking the towing vessel along a desired position reference. The desired position for the towing vessel is calculated from a desired force acting on the towed body and utilization of the connection's characteristics. Bandwidth limitations are discussed, and a combined solution with local actuation is proposed.

Kinematical transformations are expressed as time independent and time dependent functions of work and energy to be employed in motions of mechanical systems. Relations between the kinematical parameters of moving mechanical systems and energy transformations occurring in them are also considered.

In questo lavoro si intende discutere delle soluzioni solitoniche delle equazioni di campo di Einstein nel vuoto costruendo la soluzione a N solitoni e andandone a studiare alcuni aspetti. In conclusione si mostrerà come il buco nero di Kerr possa essere interpretato come soluzione solitonica nel caso di simmetria assiale. ar X iv :2 10 2. 11 25 9v 1 [ nl in .S I] 2 2 Fe b 20 21

Kinematical transformations are expressed as time independent and time dependent functions of work and energy to be employed in motions of mechanical systems. Relations between the kinematical parameters of moving mechanical systems and energy transformations occurring in them are also considered.

In this pa/per we prove some asymptotic stability results /or Navier-Stol~es fluid ]illing an exterior domain. In particular, we show that i/ the Reynolds number associated to the basic/low is su]]iciently small, then the energy o/perturbations tends to zero as t ~ c~, provided only that the energy is /inite at t = O. This result also solves, as a special case, a problem pointed out by J. Leray in [25].

para-Hermitian geometry, a type of affine symmetric spaces, called para-Hermitian symmetric spaces, arises (see Section 5). These spaces are useful, among other things, in the representation theory of the associated groups. Moreover, those symmetric spaces M are diffeomorphic to (a covering manifold of) the cotangent bundle of another-Riemannian-symmetric space M 0. That permits us to bring into T * (M 0) the para-Kähler structure on M , thus obtaining an additional structure on the cotangent bundle of those manifolds, which is of great interest in symplectic geometry and mechanics. Paracomplex geometry is a topic with many analogies and also with differences with complex geometry. Thus this subject is often studied with the geometries arising from complex numbers, and also with the geometry coming from dual numbers (see for instance [21, 26, 70, 109, 118]). However, for the sake of brevity, we shall make, in this survey, no references to related results on other algebras. On the other hand, a little knowledge of paracomplex geometry shows soon that there are more differences with complex geometry than one can suspect at the beginning. Perhaps, the subject would we worthy to appear in the corresponding section of the A.M.S. Subject Classification. We have entitled the present work "A survey on paracomplex geometry", but it is perhaps premature to definitively name the topic, since there are several different names, each of which having a reasonable sense; and mainly because the growth of the subject can help to fix the most reasonable name. 2 Paracomplex manifolds 2.1 Some definitions and results We shall first recall some general definitions concerning (almost) paracomplex, (almost) para-Hermitian and (almost) para-Kähler manifolds. From now on, all the manifolds and geometric objects are supposed to be C ∞. Definition 2.1 An almost product structure J on a differentiable manifold M is a (1, 1) tensor field J on M such that J 2 = 1. The pair (M, J) is called an almost product manifold. An almost paracomplex manifold is an almost product manifold (M, J) such that the two eigenbundles T + M and T − M associated with the two eigenvalues +1 and −1 of J, respectively, have the same rank. (Note that the dimension of an almost paracomplex manifold is necessarily even.) Equivalently, a splitting of the tangent bundle T M

Objetivos da Revista: A revista TEMA tem como objetivo principal publicar trabalhos completos originais, de no máximo 12 páginas, de todas as áreas de Matemática Aplicada e Computacional. Excepcionalmente, a critério do Comitê Editorial, poderão ser publicados trabalhos com mais de 12 páginas. Um volume, composto de três números, é publicado anualmente. Uma das finalidades da revista é servir como veículo para publicação de números especiais contendo artigos sobre temas de interesse dos associados da SBMAC, vinculados ou não a eventuais reuniões científicas organizadas ou co-organizadas pela sociedade. A cada ano pelo menos um número é dedicado à publicação de trabalhos completos selecionados a partir daqueles apresentados nos Congressos Nacionais de Matemática Aplicada e Computacional.

Kinematical transformations are expressed as time independent and time dependent functions of work and energy to be employed in motions of mechanical systems. Relations between the kinematical parameters of moving mechanical systems and energy transformations occurring in them are also considered.

Kinematical transformations are expressed as time independent and time dependent functions of work and energy to be employed in motions of mechanical systems. Relations between the kinematical parameters of moving mechanical systems and energy transformations occurring in them are also considered.

Kinematical transformations are expressed as time independent and time dependent functions of work and energy to be employed in motions of mechanical systems. Relations between the kinematical parameters of moving mechanical systems and energy transformations occurring in them are also considered.