Papers by Stefano Leonesi
La misteriosa incalcolabilità dell'anima
Ancora Crittografia
Springer eBooks, 2006
Weakly o-Minimal Expansions of Boolean Algebras
Mathematical Logic Quarterly, May 1, 2001
We propose a definition of weak o-minimality for structures expanding a Boolean algebra. We study... more We propose a definition of weak o-minimality for structures expanding a Boolean algebra. We study this notion, in particular we show that there exist weakly o-minimal non o-minimal examples in this setting.
Primi e Composti
Unitext, 2006
Lettera matematica, Aug 8, 2014
Every digital message sent runs the risk of being intercepted, so it is important that messages b... more Every digital message sent runs the risk of being intercepted, so it is important that messages be encrypted to protect our privacy. The addition of a digital signature can help prove the authenticity of a message or document, but it could nevertheless be intercepted and altered. To prevent this, a message digest is created, forming a kind of fingerprint of the original message. Such fingerprints are mathematical functions that concentrate a message into a fixed-length representation. These are also useful in situations where information is to be kept secret until a later moment, but must be capable of being unmodified and authenticated when it is finally revealed. The aim of this paper is to show how cryptography, digital signatures and fingerprint functions may be linked with a famous curiosity of probability, the birthday paradox.
Lettera matematica PRISTEM, Jun 1, 2015
C ome è piccolo il mondo! Consideriamo un personaggio importante, poniamo il caso Sua Santità il ... more C ome è piccolo il mondo! Consideriamo un personaggio importante, poniamo il caso Sua Santità il Papa, e chiediamoci quanto sia lunga la catena di conoscenze che ci separa da lui. L'intuito e l'eccezionalità della figura ci suggeriscono distanze enormi e un numero estremamente elevato di passaggi e di intermediari prima di arrivare al Santo Padre; si può addirittura dubitare di riuscire nell'intento. Eppure, se riflettiamo un momento, dobbiamo ammettere che ciascuno di noi, se non altro noi italiani, avrà incontrato con ogni probabilità un sacerdote, il quale conoscerà certamente il vescovo della propria diocesi, che a sua volta avrà avuto modo di trovarsi al cospetto del Papa al momento della nomina o in successive riunioni e concili ecumenici. Et voilà! In appena tre passaggi siamo approdati da Sua Santità. Lo scettico potrebbe controbattere dicendo che il trucco sta proprio nell'aver scelto una figura di primissima importanza, per ciò stesso molto conosciuta e a contatto con molteplici individui, specie in Italia, e che non altrettanto accadrebbe se volessimo raggiungere un qualunque anonimo idraulico, magari della periferia di Sydney. E invece neppure ora la catena di conoscenze si allungherebbe di molto: per esempio, arrivati come prima al Papa in tre passi, si potrebbe ridiscendere la gerarchia ecclesiastica transitando per il vescovo di Sydney e arrivando al nostro idraulico, eventualmente passando per il parroco locale o, al peggio, per una piccola "catena" di cittadini che verosimilmente IL MISTERO DEI 6 GRADI DI SEPARAZIONE: DALL'ORDINE ALLA CASUALITÀ PARTE I di Stefano Leonesi Insegna e svolge attività di ricerca presso l'Università di Camerino. È coautore di vari testi di Computabilità, Algebra, Crittografia e di libri di divulgazione scientifica come Matematica, Miracoli e Paradossi (Bruno Mondadori Editore, 2007) e L'arte di uccidere i draghi: le vie matematiche della morale (PRISTEM, 2013), scritti con Carlo Toffalori.
Lettera matematica PRISTEM, Oct 1, 2015
U n modello più realistico: le reti small-world In effetti la costruzione e l'evoluzione di un gr... more U n modello più realistico: le reti small-world In effetti la costruzione e l'evoluzione di un grafo casuale sono in un certo senso dei processi sin troppo democratici ed egualitari: si inizia da vertici isolati e si effettuano dei collegamenti tra essi in modo indipendente con probabilità p, così che ogni coppia di vertici viene trattata alla stessa maniera. Nel considerare una rete sociale, però, è piuttosto inverosimile assumere che la probabilità che due individui dello stesso rione hanno di conoscersi direttamente sia la stessa che sussiste tra un idraulico di Sydney e il Papa. A questo punto nasce spontane-amente una domanda: se i grafi regolari si mostrano aderenti alle reti sociali per quanto riguarda l'elevato clustering, mentre i grafi casuali lo sono per la piccola distanza media (basso grado di separazione), è possibile trovare un punto di incontro tra le due tipologie in modo da conciliare questi aspetti apparentemente contradditori? Nel 1998 Duncan J. Watts e Steven H. Strogatz [WS], tenendo conto degli studi del sociologo Mark Granovetter sui cosiddetti legami deboli [Gr], furono i primi a mostrare matematicamente come fosse concepibile realizzare un simile compromesso [Bu]. I due si mossero nella convinzione che, nonostante ogni individuo tenda ad avere relazioni profonde e radicate prevalentemente con la sua cerchia-parenti, colleghi,
Lettera matematica PRISTEM, Jul 1, 2014
The mystery of the six degrees of separation, part II: navigability and small worlds
Lettera matematica, Nov 9, 2015
Sometimes the world appears to be as big as we thought. How many times have you met someone for t... more Sometimes the world appears to be as big as we thought. How many times have you met someone for the first time, maybe in another city, and discovered that you have friends in common? Indeed the experience and experiments, such as those of the famous sociologist Milgram in the 1960s, show that in most cases short chains of acquaintances are enough to connect any two people on the planet. This phenomenon became known as the mystery of the “six degrees of separation”, and it is increasingly relevant due to the importance that natural and technological networks have taken today. The aim of this two-part article is to address the issue from mathematical and historical point of view, showing how the graphs are a good tool to analyse the problem. In this second part we treat navigability and small-world networks.
Lettera matematica, Aug 18, 2015
Sometimes the world appears to be as big as we thought. How many times have you met someone for t... more Sometimes the world appears to be as big as we thought. How many times have you met someone for the first time, maybe in another city, and discovered that you have friends in common? Indeed the experience and experiments, such as those of the famous sociologist Milgram in the 1960s, show that in most cases short chains of acquaintances are enough to connect any two people on the planet. This phenomenon became known as the mystery of the ''six degrees of separation'', and it is increasingly relevant due to the importance that natural and technological networks have taken today. The aim of this two-part article is to address the issue from mathematical and historical point of view, showing how the graphs are a good tool to analyse the problem. In this first part we begin with regular and random graphs.
Matematica, miracoli e paradossi - Storie di cardinali da Cantor a Goedel
Teoria della computabiltà e della complessità
Note di Matematica, 2003
We show that, if B is a field and A = B is any algebraically closed field extension of B, then th... more We show that, if B is a field and A = B is any algebraically closed field extension of B, then the theory of (A, B) eliminates imaginaries if and only if A is a finite extension of B (and so if and only if (A, B) is elementary equivalent to (C, R)).
I numeri naturali
Springer eBooks, 2006
Abbiamo gia incontrato nel Capitolo 1 l’insieme ℕ dei numeri naturali 0, 1, 2, 3,... e l’insieme ... more Abbiamo gia incontrato nel Capitolo 1 l’insieme ℕ dei numeri naturali 0, 1, 2, 3,... e l’insieme ℤ dei numeri interi 0,±1,±2,±3,.... Approfondiamo qui la loro conoscenza. La nostra esposizione sara, almeno inizialmente, informale, volta a ricordare alcune proprieta fondamentali di ℕ e ℤ e a insinuarne altre, piuttosto che a trattare sistematicamente l’uno e l’altro insieme numerico. Assumiamo quindi che il lettore abbia gia qualche confidenza con ℕ e ℤ, sappia ad esempio che in ℤ la sottrazione e sempre possibile, e in ℕ no, o che il prodotto di due interi positivi e positivo, e cosi via; anzi adoperiamo liberamente alcune di queste proprieta in certe nostre dimostrazioni.
Mathematical Logic Quarterly, Feb 1, 2005
Discrete weakly o-minimal structures, although not so stimulating as their dense counterparts, do... more Discrete weakly o-minimal structures, although not so stimulating as their dense counterparts, do exhibit a certain wealth of examples and pathologies. For instance they lack prime models and monotonicity for definable functions, and are not preserved by elementary equivalence. First we exhibit these features. Then we consider a countable theory of weakly o-minimal structures with infinite definable discrete (convex) subsets and we study the Boolean algebra of definable sets of its countable models.
Il Problema della Primalità
Unitext, 2006
Dalla Crittografia ai Numeri
Springer eBooks, 2006
Mathematical Logic Quarterly, Nov 1, 2005
A module is weakly minimal if and only if every pp-definable subgroup is either finite or of fini... more A module is weakly minimal if and only if every pp-definable subgroup is either finite or of finite index. We study weakly minimal modules over several classes of rings, including valuation domains, Prüfer domains and integral group rings.
TASK Quarterly : scientific bulletin of Academic Computer Centre in Gdansk, 2005
The early connections between Mathematical Logic and Computer Science date back to the thirties a... more The early connections between Mathematical Logic and Computer Science date back to the thirties and to the birth itself of modern Theoretical Computer Science, and concern computability. This survey wishes to emphasize how alive and fruitful this relationship has been since then, and still is.
Potenze, Radici e Logaritmi
Springer eBooks, 2006
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Papers by Stefano Leonesi