프리드만 방정식

프리드만 방정식(Friedmann Equations)은 일반 상대성 이론을 기반으로 우주의 팽창과 진화 과정을 기술하는 두 개의 방정식으로, 알렉산드르 프리드만(Alexander Friedmann)이 1922년과 1924년에 발표한 연구에서 유도되었다. 이 방정식은 우주론에서 가장 중요한 이론적 기초 중 하나로, 허블 상수, 밀도 매개변수, 그리고 우주의 곡률을 포함하여 우주가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 설명한다. 현대 우주론에서 ΛCDM 모델을 비롯한 다양한 우주론적 모델의 기초를 제공하며, 빅뱅 우주론의 수학적 근거로 활용된다.

프리드만 방정식은 우주가 등방성(Isotropic; 어느 방향으로 보아도 동일)과 균질성(Homogeneity; 어느 위치에서도 동일)을 가진다고 가정한다.[1] 또 우주는 밀도 $\rho$와 압력 $p$를 가지는 완전 유체라고 가정한다. 이를 통틀어 우주론 원리(cosmological principle)라고 한다.

프리드만 방정식에는 척도 인자(scale factor) $a (t)$가 등장한다. 척도 인자는 우주의 상대적인 크기를 나타내는 무차원 변수로, 우주가 팽창함에 따라 변하는 값이다. 원점을 기준으로 어떤 점의 위치벡터를 $\mathbf{r}(t)$라고 하고 현재 우주의 나이 혹은 시간을 $t_0$라고 하면, 척도 인자는 $a(t)\coloneqq \frac{\mathbf{r}(t)}{\mathbf{r}(t_0)}$로 정의된다. 즉, 현재 우주의 크기를 1이라고 할 때, 과거 혹은 미래의 우주의 상대적인 크기를 나타내는 값이다.
다음과 같은 과정을 통해 간단하게 허블 매개변수(Hubble parameter)$H(t)$를 유도할 수 있다:

따라서 $H(t) \equiv \frac{\dot{a}}{a}$이다. 특히, 허블 상수는 현재의 허블 매개변수 값에 해당한다. ($H_0 = H(t_0)$)

프리드만 방정식은 다음과 같이 두 개의 미분 방정식을 의미한다:

첫 번째 미분 방정식은 좌변이 허블 매개변수와 같다. 이 식은 척도 인자의 도함수에 관한 식을 나타내므로 마치 뉴턴의 'F=ma'와 비슷하다고 하여 '운동 방정식'이라고도 불리며, 두 번째 방정식은 '가속 방정식'이라고도 한다.

두 개의 프리드만 방정식을 연립하여 에너지-운동량 보존을 나타내는 연속방정식을 유도할 수 있다.

우주 구성요소의 상태방정식(에너지 밀도와 압력 사이의 관계)이 주어지면, 프리드만 방정식과 연속방정식을 통해 우주 역사 동안의 진화를 구할 수 있다.

원래는 일반 상대성 이론에서 유도된 식이다. 정확히는 우주론 원리를 만족하는 계량 텐서장을 구하면 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(FLRW metric)이 나오고, 이 계량 상에서 일반 상대성 이론의 핵심 식인 아인슈타인 방정식을 나타내면 프리드만 방정식이 된다. 하지만 뉴턴 역학을 이용해서도 유도해볼 수 있다. 물리학적으로 엄밀하지는 않고 우주론 상수 항을 고려하지 못한다는 한계는 있지만, 프리드만 방정식의 각 항이 어떤 물리학적 의미를 가지는지 직감을 키우는 데에 유익하다.