중력 상수

중력 상수(重力常數, gravitational constant)는 고전역학에서 뉴턴의 만유인력의 법칙에 나타나는 보편 상수인 중력의 상수를 말한다. 이는 곧, 단위 질량의 두 질점이 단위 거리만큼 떨어져 있을 때 작용하는 만유인력의 값으로 구체적인 값은 아래와 같다.

일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식에서도 값의 변화 없이 그대로 등장한다. 플랑크 상수, 태양 질량 등 아주 작은 미시세계부터 매우 거대한 태양계의 별 질량에 이르기까지 가장 기본이 되는 상수 값이며 직접 실측을 통하지 않고서는 따로 계산해 낼 수 없는 값이기도 하다.

캐번디시 실험(Cavendish experiment)은 18세기 말에 영국의 과학자 존 미첼(John Mitchell)이 고안하고 헨리 캐번디시(Henry Cavendish)가 실행한 과학 실험이다.
적어도 1783년부터는 존 미첼이 비틀림 저울을 사용한 실험을 계획하고 있었던 것으로 보이나 1793년에 사망하고 말았다. 존 미첼의 사후 그가 갖고 있던 비틀림 저울은 프란시스 존 하이드 울라스턴을 거쳐서 캐번디시한테로 넘어갔고, 캐번디시는 미첼의 계획을 토대로 실험을 수행할 수 있었다. 캐번디시에 의해 1797년부터 1798년까지 실험과 측정이 이루어졌고 1798년에 기고한 논문에 실험 결과를 보고했다.

중력 상수, 지구 밀도를 실측하는 인위적인 장치를 고안하고 설계 및 구현했다는 점에서 인류 역사상 최초의 성공적인 중력 실험장치로 평가받는다. 중력 상수를 위한 2개의 서로 다른 질량의 실험 모델을 축소판으로 구현하고 설계했다는 점에서 캐번디시 실험은 그 결과의 정확성만큼이나 중요한 의미가 있다고 할 수 있다. 이보다 앞선 1774년 스코틀랜드에서의 시할리온 실험은 지구밀도와 관련된 최초 실험으로 알려져있으나 당시로서는 이 실험에 적합한 시할리온산이라는 자연 환경에 의존해야 하는 아이디어였다.

비틀림 계수가 $\kappa$인 비틀림 꼬임 줄에 길이가 $L$인 막대의 중심을 수직으로 연결하고, 질량이 $m$인 2개의 물체를 각각 양끝에 연결한다. 그리고, 질량이 $M \gg m$인 물체 2개를 각각의 질량이 $m$인 물체 가까이 놓으면, 비틀림 저울은 회전한다. 이때, 막대가 회전한 각을 $\theta$라 하고, 질량이 $m$인 물체와 질량이 $M$인 물체의 사이의 거리를 $R$이라 하자.

이때, 각각의 질량이 $m$인 물체와 질량이 $M$인 물체의 사이의 중력에 의한 토크와 복원 토크는 평형을 이룬다.[1]

이상에서 다음의 등식이 성립한다.


한편, 비틀림 진자의 주기는 다음과 같이 주어진다.

$I$는 계의 관성 모멘트로, 다음과 같이 주어진다. 이때, 막대의 질량은 무시한다.

이상에서 다음을 얻는다.

이것을 식 $\small{(\ast)}$에 대입하고, $G$에 대하여 정리함으로써 다음을 얻는다.

이 상수는 다른 물리 상수에 비해 유효숫자가 적은데 고작 5개밖에 되지 않는다. 이는 중력이 터무니없이 약한 힘이기 때문이다.[2] 이 문제 때문에 킬로그램을 더 밀접한 중력 상수가 아닌 플랑크 상수를 이용해 정의했다.

지표면에서 물체의 중력은 다음과 같다.

한편, 근사를 적용하지 않은 중력은

$R$은 지구 반지름이다. 이것을 위해 대입함으로써 다음을 얻는다.


한편, 밀도는 질량을 부피로 나누는 것이므로


이것을 대입하면 지구의 밀도를 얻는다.


각종 상수를 이용하면,

으로 계산된다.

지구의 질량을 $m$, 태양의 질량을 $M$이라 놓으면, 지구의 운동 방정식은

$r$은 지구와 태양 사이의 거리이다.

따라서 태양 질량은

으로 계산할 수 있다.

한편, 공전 주기를 $T$라 하면,

이므로

로 구할 수 있다.

각종 상수를 이용하면,

이 된다.

$1\,{\rm dyn}=10^{-5}\,{\rm N}$임을 이용하면,

가우스 중력상수(gaussian gravitational constant, 기호는 $K$)는 천체단위에서 태양 질량 $M$, 태양일 $T$, AU $L$을 단위로 갖는다.