최근 변경최근 토론
특수 기능

모노이드

최근 수정 시각:
3
편집토론역사
분류
대수학
Algebra
[ 펼치기 · 접기 ]
이론
기본 대상
연산 · 항등식(가비의 이 · 곱셈 공식(통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식(절대부등식) · 방정식(/풀이 · 근(무연근 · 허근 · 비에트의 정리(근과 계수의 관계) · 제곱근(이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술(시계 산술)
수 체계
자연수 · 소수 · 정수 · 음수 · 유리수 · 실수(무리수(대수적 무리수 · 초월수) · 초실수) · 복소수(허수) · 사원수 · 팔원수 · 대수적 수 · 벡터 공간
다루는 대상과 주요 토픽
대수적 구조
군(group)
대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 공간대칭군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리 · 클라인 사원군
환(ring)
아이디얼
체(field)
갈루아 이론 · 분해체
대수
가환대수 · 리 대수 · 불 대수(크로네커 델타)
마그마·반군·모노이드
자유 모노이드 · 가환 모노이드
선형대수학
스칼라 · 벡터 · 행렬 · 텐서(텐서곱) · 벡터 공간(선형사상) · 가군(module) · 내적 공간(그람-슈미트 과정 · 수반 연산자)
정리·추측
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측미해결
관련 하위 분야
범주론
함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 · 토포스 이론 · 타입 이론
대수 위상수학
연속변형성 · 기본군 · 피복공간 · 사슬 복합체 · 호몰로지 대수학(호몰로지 · 코호몰로지) · 사상류군 · 닐센-서스턴 분류 · 호프대수
대수기하학
대수 다양체 · 층 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브
대수적 정수론
타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리
가환대수학
스펙트럼 정리
표현론
실베스터 행렬
기타 및 관련 문서
수학 관련 정보 · 추상화 · 케일리 표 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 이항연산의 성질(결합법칙 · 분배법칙 · 소거법칙 · 교환법칙 · 흡수법칙) · 교재 · 과일 분수방정식 문제
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 개요2. 정의3. 부분 모노이드4. 자유 모노이드(free monoid)5. 가환 모노이드의 그로텐디크 확장(Grothendieck extension)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. 개요[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Monoid

대수학에서 다루는 대수적 구조의 일종으로, 군이나 환보다 약한 조건으로 정의된다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. 정의[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MM과 그 위의 이항연산 ∗*[1]에 대해, (M, ∗, e)(M,\,*,\,e)가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.
  1. ∀a,b,c∈M(a∗(b∗c)=(a∗b)∗c)\forall a,b,c\in M(a*(b*c)=(a*b)*c) (결합법칙; associativity)
  2. ∃e∈M(∀a∈M(a∗e=a=e∗a))\exists e\in M(\forall a\in M(a*e=a=e*a))[2] (항등원의 존재; identity)

이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해(00을 포함하는) N\mathbb{N}이다.[3] 곱셈에 대해서 Z\mathbb{Z}도 군이 아닌 모노이드이다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. 부분 모노이드[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
submonoid

(M,⋅)(M, \cdot)이 모노이드이고 e∈Me \in M이 MM의 항등원일 때 부분집합 M′⊂MM' \sub M이 동일한 연산 ⋅\cdot에 대해서 모노이드를 이루고 e∈M′e \in M'이라면 (M′,⋅)(M', \cdot)을 MM의 submonoid라고 한다.

굳이 항등원의 포함이 조건에 들어가는 이유는 군과 달리 모노이드는 역원이 없기 때문이다. 군에서는 부분군이 있을 때 항등원에 소거법칙을 적용해서 두 항등원이 같음을 보일 수 있지만 모노이드에서는 (항등원 조건을 빼먹으면) 여러 부분집합이 서로 다른 항등원을 가질 수 있다. 때문에 항등원을 고정하기 위해 반드시 필요한 조건이다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. 자유 모노이드(free monoid)[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
자유 모노이드는 집합 XX위에서 정의된다.집합 XX에 대한 자유 모노이드 F(X)F(X)[4]는 XX의 원소들로 이루어진 단어[5]들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열 e=[]e=[]이다. 예를 들어, X={a, b}X=\{a,\,b\}에 대해, 다음이 성립한다.
[], [a], [b], [babaa]∈F(X)[ababa]∗[abaaaaaaa]=[ababaabaaaaaaa][],\,[a],\,[b],\,[babaa]\in F(X) \\ [{\color{red}ababa}]*[{\color{blue}abaaaaaaa}]=[{\color{red}ababa}{\color{blue}abaaaaaaa}]

∣X∣>1|X|>1이면 F(X)F(X)는 비가환이고, ∣X∣=1|X|=1이면 F(X)=NF(X)=N, ∣X∣=0|X|=0이면 F(X)={[]}F(X)=\{[]\}이다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. 가환 모노이드의 그로텐디크 확장(Grothendieck extension)[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
모노이드 MM에 대해, M2M^2위의 동치관계 ≡\equiv를 다음과 같이 정의한다.
TFAE
(a, b)≡(x, y)∃m∈M s.t. aym=bxm(a,\,b)\equiv(x,\,y) \\ \exists m\in M\textsf{ s.t. }aym=bxm[6]

그리고 이에 의한 (a, b)(a,\,b)의 동치류를 [a, b]∈M2/≡[a,\,b]\in M^2/\equiv라 하자. 이 위의 연산 ⋅\cdot 을 [a, b]⋅[x, y]=[ax, by][a,\,b]\cdot[x,\,y]=[ax,\,by]라 주면, 이는 결합적이고[e, e][e,\,e]이 항등원이며, [a, b][a,\,b]의 역원은 [b, a][b,\,a]이다. 즉, (M2/≡, ⋅ ){\left(M^2/\equiv,\,\cdot\,\right)}은 군이다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[1] ∗*는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.[2] 여기서 ee를 항등원이라 한다. 자연로그의 밑이 아니다.[3] 00을 포함하지 않는 경우 곱셈에 대한 모노이드가 된다.[4] 이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다.[5] 단어를 다음과 같이 묶어서 표시한다. [⋅][{\cdot}][6] 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. mm의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

크리에이티브 커먼즈 라이선스
이 저작물은 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다. (단, 라이선스가 명시된 일부 문서 및 삽화 제외)
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.

나무위키는 백과사전이 아니며 검증되지 않았거나, 편향적이거나, 잘못된 서술이 있을 수 있습니다.
나무위키는 위키위키입니다. 여러분이 직접 문서를 고칠 수 있으며, 다른 사람의 의견을 원할 경우 직접 토론을 발제할 수 있습니다.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
더 보기