Modernizing the philosophy of mathematics

Philosophia, 1984

The American Mathematical Monthly, 2017

2018

International audienceThe question of the applicability of mathematics is an epistemological issue that was explicitly raised by Kant, and which has played different roles in the works of neo-Kantian philosophers, before becoming an essential issue in early analytic philosophy. This paper will first distinguish three main issues that are related to the application of mathematics: (1) indispensability arguments that are aimed at justifying mathematics itself; (2) philosophical justifications of the successful application of mathematics to scientific theories; and (3) discussions on the application of real numbers to the measurement of physical magnitudes. A refinement of this tripartition is suggested and supported by a historical investigation of the differences between Kant's position on the problem, several neo-Kantian perspectives (Helmholtz and Cassirer in particular, but also Otto Hölder), early analytic philosophy (Frege), and late 19th century mathematicians (Grassmann, D...

2023

Si la recherche en philosophie de la pratique mathématique s’est imposée comme une option très fructueuse en philosophie des mathématiques, en permettant de ramener l’attention des chercheurs vers les mathématiques telles qu’elles se font, dans toute leur richesse protéiforme et en deçà des idéalisations qui tendent à déformer ce qu’elle est, il n’est peut être pas inutile d’envisager que le même type de regard puisse être porté sur la pratique de la philosophie des mathématiques elle-même. Plus précisément, il est raisonnable de penser qu’une démarche qui a permis de mieux ressaisir la pratique véritable de mathématiciens considérés comme éminemment « conceptuels » (Eisenstein, Gauss, Jacobi, Dirichlet, Riemann, Dedekind), en mettant en avant l’écart qui peut exister entre cet idéal et la pratique véritable, puisse également s’avérer utile pour mieux saisir le travail de philosophes des mathématiques généralement considérés comme « conceptuels ». Nous partirons donc du principe que toute philosophie des mathématiques est avant tout, non une doctrine ou un assortiment de thèses justifiées, mais une « pratique de théoriciens », qui construit des dispositifs conceptuels par le moyen de montages hétérogènes entre des processus d’écriture, des styles de conceptualisation, des pratiques individuelles et collectives du savoir, des transformations de données, des échafaudages normatifs et le tracé d’horizons imaginaires. Nous verrons ainsi comment Cavaillès anime de l’intérieur le matériau textuel historique qui lui sert de référence dans ses thèses, et comment ces différentes modalités permettent de poser sous un angle différent la question, devenue classique, de la nécessité rétrospective qu’il dégage entre différents moments de développement d’une théorie. Nous verrons également les « chaînes de références » typiques par lesquelles Lautman instaure entre le niveau référentiel basal des matériaux mathématiques et ses thèses sur la dialectique dominatrice des mathématiques une suite de discontinuités qui étalonnent le travail du concept et permettent de travailler sur des « mouvements de théories ».

Journal of Symbolic Logic, 1983

Humanizing Mathematics and its Philosophy

2014

2010

The critical analysis of the foundations of pure mathematics is proposed. The unity of formal logic and of rational dialectics is methodological basis of the analysis. The main result is as follows: the concept of “mathematical quantity” – starting and central concept in mathematics – is meaningless, erroneous, and inadmissible one because it represents the following formal-logical and dialectical-materialistic errors: negation of existence of the essential sign (feature) of concept (i.e., negation of existence of the essence (content, intension) of the concept) and negation of existence of measure of material object. The correct metrical-geometrical and physical interpretations of mathematical relationships show that the set of standard mathematical functions represents error, mistake, and blunder. Therefore, pure mathematics does not satisfy the general-scientific criterion of truth: practice is criterion of truth. The obtained results lead to the conclusion that the generally accepted foundations of pure mathematics are a false one, and they should be reconsidered.