Skip to main content

Rafi Kamindra

Universitas Pendidikan Indonesia, Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Undergraduate

Followers

105

Following

11

Public Views

I am an undergraduate student in Mathematics at Universitas Pendidikan Indonesia. Actively engaged in writing and contributing to various creative and academic projects, i'm deeply passionate about exploring and advancing knowledge, particularly in education and mathematics. With a collaborative spirit and a commitment to continuous learning, i'm strives to make meaningful contributions that benefit both the academic community and society at large.
Phone: 088293784992
Address: Harapan Indah, Kota Bekasi

less

InterestsView All (20)

Uploads

Papers by Rafi Kamindra

SHIFT CIPHER KRIPTOGRAFI

Rafi Kamindra, 2025

Tugas ini membahas penerapan algoritma Shift Cipher dalam kriptografi, yang merupakan salah satu ... more Tugas ini membahas penerapan algoritma Shift Cipher dalam kriptografi, yang merupakan salah satu metode enkripsi klasik. Shift Cipher bekerja dengan menggantikan setiap huruf dalam plaintext dengan huruf lain yang berada pada posisi tertentu dalam alfabet, yang ditentukan oleh sebuah kunci. Dalam tugas ini, sebuah aplikasi berbasis GUI menggunakan Python dibangun untuk memfasilitasi proses enkripsi, dekripsi, dan kriptanalisis pesan. Pengguna dapat memasukkan teks dan kunci untuk mengenkripsi pesan atau mendekripsi pesan yang telah dienkripsi. Selain itu, aplikasi juga memungkinkan pengguna untuk melakukan serangan brute-force untuk mencari kunci yang tepat melalui serangan Ciphertext-only. Sebagai ilustrasi, contoh enkripsi dan dekripsi pesan "kriptografi untuk pemula" menggunakan kunci 7 dijelaskan. Pesan yang telah disandikan dapat dianalisis dengan mencoba semua kemungkinan kunci untuk menemukan kunci yang benar. Aplikasi ini mendemonstrasikan bagaimana metode klasik dalam kriptografi dapat diterapkan untuk melindungi pesan dan bagaimana teknik kriptanalisis dapat digunakan untuk meretas pesan terenkripsi.

ANALISIS RUNTUN WAKTU

Rafi Kamindra, 2025

Tugas ini membahas konsep dasar dalam analisis runtun waktu, yang digunakan untuk memahami pola d... more Tugas ini membahas konsep dasar dalam analisis runtun waktu, yang digunakan untuk memahami pola data yang terurut berdasarkan waktu. Dalam analisis ini, data runtun waktu dianggap tidak hanya sebagai angka acak, tetapi juga memiliki struktur yang dipengaruhi oleh beberapa komponen, seperti tren, musiman, siklis, dan acak. Salah satu fokus utama adalah stasioneritas, yang menunjukkan apakah karakteristik statistik data, seperti rata-rata dan varians, tetap konstan sepanjang waktu. Asumsi stasioneritas diperlukan dalam model peramalan, seperti ARIMA, untuk memastikan prediksi yang valid. Tugas ini juga menjelaskan berbagai jenis pola data runtun waktu, serta cara mengatasi masalah yang timbul akibat ketidakstasioneran, seperti melalui differencing dan transformasi logaritma untuk menstabilkan varians. Pengetahuan ini penting untuk memodelkan dan meramalkan data runtun waktu dengan lebih akurat.

ANALISIS MODEL REGRESI

Rafi Kamindra, 2025

Tugas ini membahas analisis berbagai model regresi linear dalam konteks Ekonometrika. Terdapat li... more Tugas ini membahas analisis berbagai model regresi linear dalam konteks Ekonometrika. Terdapat lima model yang diuji, yaitu model resiprokal, semilogaritmik, semilogaritmik invers, logaritmik (log-log), dan logaritmik resiprokal. Masing-masing model dianalisis berdasarkan linearitasnya dalam variabel dan parameter. Hasil analisis menunjukkan bahwa model resiprokal, semilogaritmik, dan logaritmik resiprokal adalah regresi linear, meskipun tidak semua model linear dalam variabel. Sebaliknya, model logaritmik (log-log) tidak memenuhi kriteria regresi linear karena parameter berada dalam bentuk logaritma. Analisis lebih lanjut juga menguji transformasi logaritma untuk model non-linear, seperti model eksponensial dan logistik, yang dapat diubah menjadi bentuk regresi linear melalui transformasi aljabar. Keputusan untuk menggunakan model regresi linear dalam praktik ekonometrika sangat dipengaruhi oleh sifat linearitas dari parameter dan variabel yang ada dalam model.

ANALISIS EKONOMETRIKA

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini menyajikan kompilasi analisis ekonometrika dasar yang bertujuan untuk menguji hubunga... more Dokumen ini menyajikan kompilasi analisis ekonometrika dasar yang bertujuan untuk menguji hubungan antara berbagai variabel ekonomi menggunakan data empiris. Metodologi utama yang diterapkan adalah analisis regresi linear sederhana, yang divisualisasikan melalui diagram pencar (scatter plot) untuk mengidentifikasi tren dan hubungan antar variabel. Setiap analisis didahului oleh perumusan hipotesis a priori berdasarkan teori ekonomi yang relevan, yang kemudian dievaluasi kesesuaiannya dengan bukti empiris.

Studi kasus yang dianalisis mencakup beberapa topik. Pertama, data pasar tenaga kerja di Amerika Serikat (1980-1996) digunakan untuk mengkaji hubungan antara tingkat partisipasi angkatan kerja dengan tingkat pengangguran dan pendapatan per jam, dengan analisis terpisah untuk laki-laki dan perempuan. Kedua, data produksi dan harga telur di 50 negara bagian AS (1990-1991) dianalisis menggunakan pendekatan data cross-section, pooled, dan panel untuk menguji teori penawaran dan permintaan. Ketiga, data pengaruh pengeluaran iklan terhadap impresi audiens dari 21 perusahaan pada tahun 1983 diuji untuk memvalidasi teori pemasaran. Terakhir, data pengeluaran konsumsi makanan dan total pengeluaran dari 55 rumah tangga di India digunakan sebagai studi kasus untuk mengkonfirmasi Hukum Engel.

Hasil analisis secara umum mendukung hipotesis a priori yang diajukan, seperti hubungan negatif antara produksi dan harga telur , dampak positif pengeluaran iklan terhadap impresi , dan validitas Hukum Engel yang menunjukkan peningkatan pengeluaran makanan seiring kenaikan pendapatan dengan proporsi yang menurun. Analisis ini secara efektif mendemonstrasikan penerapan metode ekonometrika dasar untuk memvalidasi teori ekonomi dalam konteks data nyata.

KALKULATOR SEDERHANA PYTHON GUI

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini berisi tugas perancangan dan implementasi kalkulator ilmiah sederhana menggunakan bah... more Dokumen ini berisi tugas perancangan dan implementasi kalkulator ilmiah sederhana menggunakan bahasa pemrograman Python dan pustaka grafis Tkinter. Tujuan dari tugas ini adalah untuk membuat sebuah aplikasi desktop dengan antarmuka pengguna grafis (GUI) yang dapat melakukan operasi matematika dasar dan ilmiah. Kalkulator ini memiliki dua bidang masukan, X dan Y, untuk menampung angka, dan dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, akar kuadrat, dan sisa bagi (modulus).

Selain menampilkan hasil operasi, aplikasi ini juga dilengkapi dengan fitur riwayat (history) yang mencatat setiap operasi yang telah dilakukan, serta tombol untuk menghapus masukan (clear). Antarmuka pengguna dirancang dengan judul "Kalkulator Scientific," label untuk input X dan Y, label untuk hasil, serta tombol-tombol operasi yang tersusun rapi. Kode programnya memanfaatkan pustaka tkinter untuk GUI dan math untuk fungsi matematika, memastikan aplikasi berjalan dengan baik dan intuitif.

LATIHAN DAN PEMBAHASAN SOAL GEOMETRI

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini merupakan kompilasi dari beberapa set soal dan pembahasan dalam bidang Geometri, yang... more Dokumen ini merupakan kompilasi dari beberapa set soal dan pembahasan dalam bidang Geometri, yang mencakup berbagai topik dari tingkat dasar hingga lanjutan. Bagian awal berfokus pada konsep kesebangunan dan kekongruenan, khususnya pada segitiga, dengan aplikasi dalam menyelesaikan masalah perbandingan sisi dan soal-soal praktis yang melibatkan bayangan dan skala.

Selanjutnya, pembahasan beralih ke topik-topik yang lebih maju, dengan penekanan signifikan pada geometri lingkaran dan segiempat tali busur. Teorema Ptolemy digunakan secara ekstensif sebagai alat utama untuk menyelesaikan berbagai masalah, mulai dari menentukan luas persegi hingga panjang diagonal heksagon dan trapesium sama kaki. Dokumen ini juga mendemonstrasikan penerapan teorema-teorema penting lainnya seperti Teorema Ceva untuk membuktikan kekonkurenan garis-garis istimewa dalam segitiga (garis tinggi dan garis bagi). Berbagai metode penyelesaian masalah disajikan, termasuk penggunaan geometri koordinat untuk menemukan rasio, konstruksi geometris untuk inversi titik terhadap lingkaran, serta penerapan teorema spesifik seperti Teorema Van Schooten dan Aturan Kosinus. Secara keseluruhan, dokumen ini menyajikan kumpulan soal yang kaya dan beragam, yang mengilustrasikan berbagai strategi pemecahan masalah dalam geometri Euclidean.

TUGAS KALKULUS INTEGRAL

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini merupakan kompilasi dari serangkaian tugas dan soal latihan yang terpecahkan, dengan ... more Dokumen ini merupakan kompilasi dari serangkaian tugas dan soal latihan yang terpecahkan, dengan fokus utama pada berbagai topik dalam kalkulus integral. Pembahasan diawali dengan penerapan teknik-teknik integrasi fundamental, seperti metode substitusi, integrasi parsial (termasuk IBP berulang), substitusi trigonometri, dan dekomposisi pecahan parsial untuk menyelesaikan beragam jenis integral tak tentu dan tentu. Selanjutnya, dokumen ini beralih ke berbagai aplikasi integral tentu. Dalam bidang geometri, dibahas perhitungan panjang kurva (baik untuk fungsi Kartesius maupun parametrik), luas permukaan benda putar, dan volume benda putar (menggunakan metode cakram/cincin dan Teorema Pappus), serta volume benda pejal dengan penampang tertentu. Dalam aplikasi fisika, diilustrasikan cara menghitung massa total, momen massa, dan pusat massa untuk benda satu dimensi (batang) dan dua dimensi (lamina) dengan kerapatan yang diberikan. Secara keseluruhan, dokumen ini berfungsi sebagai materi responsi atau tinjauan praktis yang menyediakan solusi langkah-demi-langkah untuk berbagai masalah dalam kalkulus integral dan terapannya.

KALKULUS DIFERENSIAL - UJIAN AKHIR SEMESTER

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini menyajikan serangkaian soal dan penyelesaian dari Ujian Akhir Semester untuk mata kul... more Dokumen ini menyajikan serangkaian soal dan penyelesaian dari Ujian Akhir Semester untuk mata kuliah Kalkulus, yang mencakup topik-topik dari kalkulus diferensial dan integral. Bagian utama dari dokumen ini adalah analisis fungsi rasional secara menyeluruh, di mana dilakukan penentuan selang kemonotonan, nilai ekstrim lokal, selang kecekungan, dan semua jenis asimtot (tegak, datar, dan miring), yang berpuncak pada sketsa grafik fungsi yang lengkap. Dalam ranah kalkulus integral, dokumen ini mendemonstrasikan perhitungan integral tentu menggunakan definisi formal sebagai limit dari jumlahan Riemann. Selain itu, diuji pula berbagai teknik integrasi, seperti metode substitusi untuk fungsi logaritmik dan eksponensial. Penerapan teorema fundamental kalkulus juga ditunjukkan, termasuk penggunaan Teorema Dasar Kalkulus II untuk mencari turunan dari fungsi yang didefinisikan sebagai integral dengan batas variabel, serta penerapan Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral untuk menemukan nilai c yang memenuhi.

TUGAS KALKULUS I

Rafi Kamindra, 2025

Bagian terbesar dari dokumen ini didedikasikan untuk Kalkulus, yang menyajikan pembahasan sistema... more Bagian terbesar dari dokumen ini didedikasikan untuk Kalkulus, yang menyajikan pembahasan sistematis mulai dari konsep limit dan kekontinuan, termasuk pembuktian formal menggunakan epsilon-delta. Topik selanjutnya adalah diferensiasi, yang menguraikan berbagai teknik turunan seperti aturan rantai, turunan implisit, turunan tingkat tinggi, dan turunan fungsi transenden. Aplikasi turunan dieksplorasi secara mendalam, mencakup penentuan nilai ekstrim, interval kemonotonan, kecekungan, titik belok, asimtot, dan sketsa grafik fungsi secara lengkap. Bagian kalkulus diakhiri dengan pengenalan konsep integral, baik tak tentu maupun tentu, dengan metode penyelesaian yang difokuskan pada teknik substitusi dan integrasi parsial.

ANALISIS REAL - UJIAN TENGAH SEMESTER 2023

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini menyajikan serangkaian soal dan penyelesaian dari Ujian Tengah Semester mata kuliah A... more Dokumen ini menyajikan serangkaian soal dan penyelesaian dari Ujian Tengah Semester mata kuliah Analisis Real, yang menguji pemahaman konsep-konsep dasar dan teknik pembuktian. Topik yang dibahas mencakup empat area fundamental. Pertama, dianalisis sifat-sifat infimum dan supremum dari himpunan, di mana dibuktikan ketaksamaan yang berlaku antara batas bawah dan batas atas dari suatu himpunan dengan subhimpunannya. Kedua, disajikan pembuktian sebuah ketaksamaan aljabar yang menghubungkan rata-rata aritmetika dan kuadrat, serta ditentukan kondisi kesamaan yang berlaku. Ketiga, dalam ranah teori himpunan dan fungsi, sebuah pernyataan mengenai citra (image) dari selisih himpunan di bawah suatu fungsi diselidiki dan dibantah menggunakan contoh penyangkal (counterexample). Terakhir, dokumen ini mendemonstrasikan berbagai teknik pembuktian, termasuk induksi matematika dan bukti dengan kontaposisi, untuk membuktikan pernyataan bikondisional mengenai sifat bilangan ganjil pada perpangkatan bilangan asli.

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS - UJIAN AKHIR SEMESTER

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini menyajikan serangkaian soal dan penyelesaian dari Ujian Akhir Semester untuk mata kul... more Dokumen ini menyajikan serangkaian soal dan penyelesaian dari Ujian Akhir Semester untuk mata kuliah Fungsi Variabel Kompleks, yang berfokus pada topik-topik inti analisis kompleks. Soal pertama menginvestigasi hubungan antara keterpenuhan persamaan Cauchy-Riemann dengan keterdiferensialan suatu fungsi pada satu titik. Melalui sebuah contoh fungsi spesifik, dibuktikan bahwa meskipun persamaan Cauchy-Riemann terpenuhi di titik asal, fungsi tersebut tidak memiliki turunan di titik yang sama. Bagian kedua dari soal ini memberikan pembuktian turunan formal dari persamaan Cauchy-Riemann dalam koordinat polar. Soal berikutnya adalah mengenai evaluasi integral kontur dari sebuah fungsi kompleks di sepanjang lintasan lingkaran satuan. Penyelesaiannya mengaplikasikan Teorema Integral Cauchy dengan terlebih dahulu mengidentifikasi titik-titik singularitas dari fungsi yang diintegralkan dan menunjukkan bahwa semua singularitas tersebut berada di luar kontur, sehingga hasil integralnya adalah nol.

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS - UJIAN TENGAH SEMESTER

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini menyajikan serangkaian soal dan penyelesaian dari Ujian Tengah Semester untuk mata ku... more Dokumen ini menyajikan serangkaian soal dan penyelesaian dari Ujian Tengah Semester untuk mata kuliah Fungsi Variabel Kompleks. Soal-soal yang dibahas mencakup berbagai konsep fundamental dalam analisis kompleks. Topik yang diujikan meliputi perhitungan modulus dari ekspresi bilangan kompleks, penentuan akar dari ekspresi akar bersarang tak hingga, dan pemetaan (mapping) sebuah daerah pada bidang kompleks di bawah fungsi kuadrat. Selain itu, dokumen ini mendemonstrasikan penerapan definisi formal limit menggunakan epsilon-delta untuk membuktikan nilai suatu limit fungsi kompleks. Konsep kontinuitas juga diuji, di mana sebuah fungsi terbukti tidak kontinu pada suatu titik dengan menunjukkan bahwa pendekatan limit dari dua jalur yang berbeda menghasilkan nilai yang tidak sama. Secara keseluruhan, dokumen ini mengilustrasikan penerapan teknik-teknik analitis dan komputasi untuk memecahkan masalah-masalah inti dalam analisis variabel kompleks.

DASAR ALGORITMA DAN PEMROGRAMAN

Rafi Kamindra , 2025

Dokumen ini menyajikan materi pengenalan yang sistematis mengenai dasar-dasar algoritma dan pemro... more Dokumen ini menyajikan materi pengenalan yang sistematis mengenai dasar-dasar algoritma dan pemrograman dengan menggunakan bahasa C++. Pembahasan dimulai dari konsep paling fundamental, yaitu definisi masalah, algoritma, dan program , serta ciri-ciri yang harus dimiliki oleh sebuah algoritma yang baik, seperti keterbatasan dan kepastian. Selanjutnya, dokumen ini menguraikan tiga konstruksi dasar yang membentuk semua algoritma, yaitu runtunan (sequence), pemilihan (selection), dan pengulangan (repetition) , beserta notasi penulisannya seperti pseudocode dan flowchart.

Materi kemudian beralih ke elemen-elemen dasar pemrograman, mencakup pengenalan tipe data dasar di C++, variabel, konstanta, dan ekspresi. Setiap struktur algoritma—runtunan, pemilihan, dan pengulangan—dibahas dalam bab terpisah yang dilengkapi dengan studi kasus dan implementasi kode C++ untuk memperjelas konsepnya. Sebagai penutup, dokumen ini memperkenalkan struktur data dasar pertama, yaitu larik (array), termasuk definisi, deklarasi, dan penggunaan array multidimensi. Struktur setiap bab yang terdiri dari teori, studi kasus, latihan, dan kunci jawaban menjadikan dokumen ini sebagai panduan belajar yang terstruktur bagi pemula.

ALJABAR LINEAR - UJIAN AKHIR SEMESTER

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini merupakan kompilasi dari beberapa set soal Ujian Akhir Semester untuk mata kuliah Alj... more Dokumen ini merupakan kompilasi dari beberapa set soal Ujian Akhir Semester untuk mata kuliah Aljabar Linear, yang disajikan lengkap dengan solusi dan penjelasannya. Soal-soal yang ada secara komprehensif menguji pemahaman mahasiswa terhadap konsep-konsep lanjutan, baik dalam bentuk pertanyaan konseptual "Benar/Salah" maupun pemecahan masalah analitis. Topik utama yang dieksplorasi mencakup analisis transformasi linear, seperti penentuan kernel, rank, dan nulitas, serta penyelidikan sifat injektif dan surjektif. Fokus signifikan juga diberikan pada topik nilai eigen dan vektor eigen, serta syarat-syarat untuk diagonalisasi matriks, termasuk penentuan kondisi parameter agar sebuah matriks dapat didiagonalkan dan penerapan teorema spektral untuk matriks simetris. Selain itu, dokumen ini menguji pemahaman tentang ruang hasil kali dalam, khususnya pada ruang polinom, dengan soal-soal yang melibatkan perhitungan integral untuk menentukan ortogonalitas antar vektor (polinom). Secara keseluruhan, dokumen ini berfungsi sebagai materi tinjauan atau responsi yang mengaplikasikan teori aljabar linear dalam konteks soal-soal evaluatif.

ALJABAR LINEAR - UJIAN TENGAH SEMESTER

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini merupakan kompilasi dari beberapa set soal Ujian Tengah Semester untuk mata kuliah Al... more Dokumen ini merupakan kompilasi dari beberapa set soal Ujian Tengah Semester untuk mata kuliah Aljabar Linear, lengkap dengan jawaban dan penjelasannya. Soal-soal yang disajikan, baik dalam format pernyataan "Benar/Salah" maupun pemecahan masalah terperinci, secara konsisten menguji pemahaman mahasiswa terhadap konsep-konsep inti. Topik utama yang dieksplorasi meliputi analisis subruang vektor untuk menentukan basis dan dimensinya , penyelidikan rank matriks dan syarat-syarat yang mempengaruhinya , serta penentuan basis untuk ruang baris dan ruang kolom suatu matriks. Selain itu, soal-soal ini menuntut penerapan praktis untuk memeriksa apakah suatu vektor merupakan kombinasi linear dari himpunan vektor lain atau berada dalam ruang rentang (span) tertentu. Secara keseluruhan, dokumen ini berfungsi sebagai materi responsi atau tinjauan komprehensif yang mengaplikasikan konsep-konsep fundamental aljabar linear dalam format soal ujian yang praktis.

ALJABAR LINEAR - DIAGONALISASI MATRIKS

Rafi Kamindra, 2025

Diagonalisasi adalah proses mengubah suatu matriks persegi menjadi matriks diagonal. Proses ini s... more Diagonalisasi adalah proses mengubah suatu matriks persegi menjadi matriks diagonal. Proses ini sangat penting dalam aljabar linear karena matriks diagonal memiliki sifat-sifat komputasi yang sangat sederhana. Misalnya, menghitung pangkat dari matriks diagonal jauh lebih mudah daripada menghitung pangkat dari matriks nondiagonal. Banyak masalah dalam sains dan teknik, seperti solusi sistem persamaan diferensial linear dan analisis rantai Markov, menjadi lebih mudah diselesaikan jika matriks yang terlibat dapat didiagonalkan.

ALJABAR LINEAR - RUANG EIGEN

Rafi Kamindra, 2025

Pada materi sebelumnya, kita telah mempelajari konsep nilai eigen dan vektor eigen. Untuk sebuah ... more Pada materi sebelumnya, kita telah mempelajari konsep nilai eigen dan vektor eigen. Untuk sebuah matriks persegi A, vektor eigen x adalah vektor tak nol yang arahnya tetap (hanya panjangnya yang berubah) setelah dikenai transformasi oleh A. Hubungan ini dirangkum dalam persamaan fundamental: Ax = λx dimana λ adalah nilai eigen yang bersesuaian. Pertanyaan selanjutnya adalah: apakah himpunan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen λ tertentu, ditambah dengan vektor nol, membentuk suatu struktur yang menarik? Jawabannya adalah ya, himpunan ini membentuk sebuah subruang, yang kita sebut sebagai ruang eigen. Memahami struktur ruang eigen ini sangat penting untuk memahami sifat geometris dari transformasi linear dan merupakan kunci utama dalam proses diagonalisasi matriks.

ALJABAR LINEAR - NILAI DAN VEKTOR EIGEN

Rafi Kamindra, 2025

Dalam aljabar linear, nilai eigen dan vektor eigen merupakan konsep fundamental yang muncul ketik... more Dalam aljabar linear, nilai eigen dan vektor eigen merupakan konsep fundamental yang muncul ketika kita mempelajari transformasi linear dari suatu ruang vektor ke dirinya sendiri, khususnya yang direpresentasikan oleh matriks persegi. Secara geometris, jika sebuah matriks A dikalikan dengan vektor tak nol x, hasilnya adalah vektor Ax. Vektor eigen adalah vektor-vektor x yang istimewa karena Ax memiliki arah yang sama atau berlawanan dengan x, hanya berbeda dalam panjangnya. Faktor skala perubahan panjang ini adalah nilai eigen yang bersesuaian. Konsep ini memiliki aplikasi yang sangat luas, meliputi: • Analisis Stabilitas Sistem Dinamis: Menentukan apakah suatu sistem akan konvergen, divergen, atau berosilasi. • Analisis Getaran (Vibrasi): Menemukan frekuensi alami dan mode getaran dari struktur mekanik atau sistem fisis. • Mekanika Kuantum: Nilai eigen berkaitan dengan tingkat energi yang mungkin dari suatu sistem kuantum.

ALJABAR LINEAR - RUANG HASIL KALI DALAM

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini menyajikan konsep Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space) sebagai generalisasi d... more Dokumen ini menyajikan konsep Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space) sebagai generalisasi dari hasil kali titik (dot product) pada ruang dimensi n ke ruang vektor yang lebih abstrak. Definisi formal hasil kali dalam diperkenalkan melalui empat aksioma (simetri, aditivitas, homogenitas, dan positif definit). Beberapa contoh ruang hasil kali dalam diilustrasikan, termasuk hasil kali dalam Euclidean standar dan terbobot di ruang dimensi n , serta hasil kali dalam yang relevan untuk ruang matriks dan ruang polinom, seperti yang didefinisikan melalui integral tentu. Dengan adanya hasil kali dalam, konsep-konsep geometris seperti panjang (norma), jarak, dan sudut dapat didefinisikan dalam ruang vektor abstrak. Konsep ortogonalitas menjadi pusat pembahasan, di mana ditunjukkan bahwa himpunan vektor-vektor ortogonal yang tak-nol pasti bebas linear. Fokus utama dokumen ini adalah pada pentingnya basis ortonormal dan metode untuk membangunnya melalui Proses Gram-Schmidt. Algoritma ini dijelaskan secara rinci sebagai prosedur untuk mengubah sebarang basis menjadi basis ortogonal, yang kemudian dapat dinormalisasi. Sebagai aplikasi, konsep proyeksi ortogonal sebuah vektor pada subruang juga diperkenalkan. Dokumen ini diakhiri dengan serangkaian soal latihan yang mendalam, menggunakan ruang polinom, sebagai contoh utama untuk menerapkan perhitungan norma, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, dan proses Gram-Schmidt.

ALJABAR LINEAR - KOMPOSISI DAN ISOMORFISMA

Rafi Kamindra, 2025

Dokumen ini membahas konsep-konsep lanjutan dalam transformasi linear, dengan fokus utama pada ko... more Dokumen ini membahas konsep-konsep lanjutan dalam transformasi linear, dengan fokus utama pada komposisi dan isomorfisma. Bagian awal mendefinisikan komposisi dari dua transformasi linear, (TS)(u)=T(S(u)), dan menunjukkan bahwa komposisi dari transformasi linear juga bersifat linear, yang pada representasi matriksnya setara dengan perkalian matriks. Selanjutnya, dokumen ini menguraikan konsep isomorfisma, yaitu transformasi linear yang bersifat bijektif. Konsep ini dibangun dari dua sifat fundamental: injektif (satu-satu), yang ekuivalen dengan memiliki kernel trivial (ker(T)={0}), dan surjektif (pada), yang ekuivalen dengan rank transformasi sama dengan dimensi kodomain. Teorema-teorema kunci disajikan, termasuk ekuivalensi antara injektivitas dan surjektivitas ketika domain dan kodomain memiliki dimensi yang sama. Dokumen ini dilengkapi dengan "responsi" atau kumpulan soal latihan yang mendalam, mencakup pengujian sifat injektif dan surjektif, penentuan rank dan nulitas, pencarian rumus transformasi, serta penentuan matriks representasi terhadap berbagai basis, termasuk dengan perubahan basis.