Talks by Marta Sagastume
El objetivo de estas charlas es dar una versión virtual abreviada del libro que me propuse escrib... more El objetivo de estas charlas es dar una versión virtual abreviada del libro que me propuse escribir y cuyo título es "¿Qué es la armonía?". Siempre me interesó la percepción que tenemos de la belleza en la naturaleza y en el arte, especialmente en la música. ¿Qué hace que algo nos parezca armonioso? ¿Hay algo que objetivamente podemos considerar bello o es pura subjetividad? ¿Hay una estructura intrínseca ordenada de alguna manera especial en las cosas que consideramos bellas? Estoy convencida de que si algo es bello, armonioso, entonces sus proporciones, sus relaciones, sus disposiciones en el espacio y en el tiempo pueden expresarse matemáticamente. ¿Es sólo eso? ¿Qué es, entonces, la inspiración? Yo creo que la música está sostenida en un ``armazón'' de relaciones matemáticas, pero que hay un ``plus'' indescriptible que escapa a todo análisis teórico. El músico vuelca en su obra un caudal de sentimientos, de vivencias, de emociones de tal manera que a la belleza que nos cautiva añade la virtud de transmitirnos ese caudal. ¿Es éste el aspecto más ``humano'' de la música? Yo pienso que también nos llega y nos hace vibrar en resonancia aquella ``esencia matemática'', que proviene, según dicen, del hemisferio izquierdo del cerebro y que compartimos todos los seres humanos. Hay como una componente ``horizontal'' de forma, ritmo, consonancia de acordes, previsible, estructurada y también una ``vertical'' que surge de algo vivido y expresado bellamente en forma original, sorprendente y única. ¿Qué es entonces la armonía? Este es el tema que me propuse tratar, con gran audacia de mi parte. Si bien he sido docente e investigadora en matemática, no tengo formación en teoría musical. Conocí y amé la matemática desde la infancia por influencia de mi papá, Alberto Sagastume Berra, destacado matemático que nos planteaba problemas y nos hizo conocer obras como ``El hombre que calculaba'', que es un cuento lleno de curiosidades matemáticas. También conocí a través de él la música, sobre todo la clásica, que, explicada a veces por él, escuchábamos después de cenar. Más todavía: me enseñó a leer música y tocar el piano; recuerdo la alegría de tocar con él a cuatro manos, o de recibir una ponderación cuando yo ``creaba'' alguna música que él juzgaba buena (con gran benevolencia). Él había aprendido el lenguaje musical con su mamá, Aura Berra. Después, autodidacta en música como en muchas otras cosas, se transformó en un buen intérprete de piano para disfrute de la familia y amigos. También fue compositor de romanzas y sonatas para piano y de piezas de jazz para varios instrumentos; conservo las partituras. Este año, habiendo dejado hace un tiempo de trabajar en matemática, decidí leer hasta terminar (¡algo que nunca había logrado!) el libro "Fundamentos Matemáticos de la Música" que él escribió en 1936. Y allí empecé a buscar bibliografía, a bajar textos de Internet, leer, leer,... Hasta que las cosas empezaron a aclararse en mi cabeza. Y se me ocurrió la idea de compartir todo lo que fui entendiendo, porque en mi experiencia docente la mejor forma de entender algo a fondo es tener que enseñarlo a alguien. Así es que el contenido del texto podría definirse como ``lo que entendí del libro de mi papá y todas las cosas que aprendí en el intento''. ¿De qué trata entonces el libro?
Drafts by Marta Sagastume
Hemos visto las escalas basadas en los armónicos, las correcciones de éstas y la escala de temper... more Hemos visto las escalas basadas en los armónicos, las correcciones de éstas y la escala de temperamento igual. Vamos ahora a generalizar las escalas “naturales”, basadas en la estructura misma del sonido dada por una nota y sus armónicos abstrayendo lo esencial de estas escalas y vamos a expresarlo matemáticamente.
Se define la escala de Tolomeo_Zarlino, que agrega a la de Pitágoras el quinto armónico.
Hablamos antes de las tres características del sonido: altura, amplitud y timbre. Para fijar idea... more Hablamos antes de las tres características del sonido: altura, amplitud y timbre. Para fijar ideas siempre hablaremos de cuerdas que vibran, aunque lo que diremos puede aplicarse en general a cualquier fuente de sonido. Dijimos que la altura está relacionada con la frecuencia. Asimismo, el volumen de un sonido tiene que ver con la fuerza con que se impulsa inicialmente la cuerda, que hace que ésta se aparte más o menos de su posición de equilibrio, es decir, determina la amplitud de la onda. En cuanto al timbre, necesitamos para caracterizarlo ver mejor el concepto de armónico de un sonido dado. Entonces observamos que el sonido siempre presenta un tono o altura fundamental acompañado de otros sonidos que son lo que se llama sus armónicos, que aparecen con distintas intensidades. El movimiento que se produce es, entonces, la composición de todas esas vibraciones simultáneas. La fundamental o primer armónico influye más porque tiene mayor amplitud y se observa que los armónicos que siguen son de amplitud sucesivamente decreciente: normalmente el segundo armónico tiene más amplitud que el tercero, el tercero más que el cuarto,... Lo que entendemos por altura de un sonido compuesto es la frecuencia del tono fundamental. Cuáles y cuántos armónicos pueden oírse realmente junto con el fundamental es algo característico de cada emisor de sonido y es esto lo que determina el timbre del sonido. Por ejemplo, en el clarinete son más fuertes los armónicos impares.
Papers by Marta Sagastume
A closure for symmetric Heyting algebras
Chang's L(stroke) * Logic
Logic Journal of the IGPL, 2004
ABSTRACT
Cahiers de Topologie et Géométrie …, 1978
© Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1978, tous droits réservés. L'accès aux archives de la... more © Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1978, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques » implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute uti- ...
Revista de Educación Matemática, 2009
en septiembre de 2008. El objetivo principal de esta charla fue hacer una breve historia del conc... more en septiembre de 2008. El objetivo principal de esta charla fue hacer una breve historia del concepto de conectivo intuicionista poniendo en claro sus motivaciones, la relación existente entre las diversas formas de definirlo y sus posteriores generalizaciones. Suponemos conocidas las definiciones de reticulado y deálgebra de Heyting tal como figuran, por ejemplo, en [1]. También suponemos conocidos los conceptos básicos de teoría de categorías (ver, por ejemplo, [10]). En primer lugar, se mencionarán resultados sobre ciertasálgebras de Heyting (aquellas cuyo reticulado subyacente es generado por elementos completamente primos), se dará la definición de los llamados modelos de Kripke y se mostrará la relación existente entre unas y otros. A partir de allí analizaremos definiciones y ejemplos de conectivos: en primer lugar, tres definiciones equivalentes de conectivos intuicionistas basadas en la semántica de Kripke y luego la definición categorial de conectivos en topos, en particular en los de la forma Set P. Mostraremos la relación de esta definición con las anteriores. Porúltimo, veremos el punto de vista algebraico del concepto de conectivo enálgebras de Heyting (función compatible) y su generalización a reticulados residuados conmutativos.
Chang ’ s ÃL ∗ Logic
In this paper we study the logic L * , introduced by C. C.Chang as a natural extension of Lukasie... more In this paper we study the logic L * , introduced by C. C.Chang as a natural extension of Lukasiewicz' logic L. This logic has positive and negative truth values in the real number interval [−1, 1]. We study deductive filters, we prove a deduction theorem and give detailed proofs of the soundness and completeness theorems. In the last section, we prove that the tautology problem for the logic L * is co–NP. This paper is to be considered a continuation of the paper M V * –Algebras, by the same authors and appearing in this same volume. In that paper we study a class of algebras introduced by Chang as what is now known as an equivalent algebraic semantics for the logic L. For most definitions and other algebraic concepts, the reader is referred to that paper.
On natural automorphisms of a join of graphs
Bounded Commutative B-C-K Logic and Lukasiewicz Logics
Manuscrito Revista Internacional De Filosofia, 2005
In [9] it is proved the categorical isomorphism of two varieties: bounded commutative BCK-algebra... more In [9] it is proved the categorical isomorphism of two varieties: bounded commutative BCK-algebras and MV -algebras. The class of MV -algebras is the algebraic counterpart of the infinite valued propositional calculus L of Lukasiewicz (see [4]). The main objective of the present paper is to study that isomorphism from the perspective of logic. The B-C-K logic is algebraizable and the quasivariety of BCKalgebras is the equivalent algebraic semantics for that logic (see [1]). We call commutative B-C-K logic, briefly cBCK, to the extension of B-C-K logic associated to the variety of commutative BCK–algebras. Moreover, we present the extension Boc of cBCK obtained by adding the axiom of “boundness”. We prove that the deductive system Boc is equivalent to L. We observe that cBCK admits two interesting extensions: the logic Boc, treated in this paper, which is equivalent to the system L of Lukasiewicz, and the logic Co that is naturally associated to the system Balo of `-groups (see [10], [5]) . This constructions establish a link between L and Balo , that would be a logical approach to the categorical relationship between MV–algebras and `-groups (see [4]).
Mathematical Logic Quarterly, 2014
CS571 Notes 02 Logic 2 of 11 Logic A system for working with assertions of truth (statements, pro... more CS571 Notes 02 Logic 2 of 11 Logic A system for working with assertions of truth (statements, propositions) Assertions that are true are easier to make then assertions that are false A contradiction can destroy a system of logic (an assertion cannot be true and false at the same time)
Compatible Functions in Algebras Associated to Extensions of Positive Logic
Logic Journal of IGPL, 2006
... Marta Sagastume. Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacion... more ... Marta Sagastume. Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata, CC 172, 1900 La Plata, Argentina.E-mail: marta{at}mate.unlp.edu.ar. Received December 15, 2005. Next Section. Abstract. ... (9)(x → y) → ((x → ¬ y) → ¬ x) = 1. Proof ...
Completeness Theorems via the Double Dual Functor
Studia Logica - An International Journal for Symbolic Logic - SLOGICA, 2000
The aim of this paper is to apply properties of the double dual endofunctor on the category of bo... more The aim of this paper is to apply properties of the double dual endofunctor on the category of bounded distributive lattices and some extensions thereof to obtain completeness of certain non-classical propositional logics in a unified way. In particular, we obtain completeness theorems for Moisil calculus, n-valued Łukasiewicz calculus and Nelson calculus. Furthermore we show some conservativeness results by these methods.
Some Operators in Kripke Models with an Involution
Journal of Applied Non-Classical Logics, 1999
ABSTRACT In an unpublished paper(see [9]), we prove the equivalence between validity in 3L-models... more ABSTRACT In an unpublished paper(see [9]), we prove the equivalence between validity in 3L-models and algebraic validity in 3-valued Lukasiewicz algebras. R. Cignoli and M. Sagastume de Gallego present in [4] an intrinsic definition of the operators s, for i = 1,…,4 of a 5-valued Lukasiewicz algebra. The aim of the present work is to study those operators in g-Kripke models context and to generalize the result obtained for 3L-models in [9] by proving that there exist g-Kripke models appropriate for 5-valued Lukasiewicz propositional calculus (see theorem 3.6). As a corollary, we find the models for 4 and 3-valued Lukasiewicz propositional calculi.
Conical logic and l -groups logic
Journal of Applied Non-Classical Logics, 2005
It is well known that there is a categorical equivalence between lattice-ordered Abelian groups (... more It is well known that there is a categorical equivalence between lattice-ordered Abelian groups (or l-groups) and conical BCK-algebras (see [COR 80]). The aim of this paper is to study this equivalence from the perspective of logic, in particular, to study the relationship between two deductive systems: conical logic Co and a logic of l-groups, Bal. In [GAL 04] the
Fuzzy Sets and Systems, 2003
We extend Makkai's proof of strong amalgamation (push-outs of monos along arbitrary maps are mono... more We extend Makkai's proof of strong amalgamation (push-outs of monos along arbitrary maps are monos) from the category of Heyting algebras to a class which includes the categories of symmetric bounded distributive lattices, symmetric Heyting algebras, Heyting modal S4-algebras, Heyting modal bi-S4-albegras, and Lukasiewicz n-valued algebras. We also extend and improve Pitt's proof that strong amalgamation implies Beck-Chevalley for filters of Heyting algebras to exact categories with certain push-outs. As a consequence, a form of the Interpolation Lemma for some non-classical calculi is proved. 1999, where part of this paper was presented in the Logic Seminar of the Pontificia Universidad Católica de Chile. Finally, we would like to thank an anonymous referee for his or her careful reading of the manuscript and which resulted in several improvements.
Subminimal logic and weak algebras
Reports on Mathematical Logic, 2008
... Page 12. 186 RODOLFO ERTOLA, MARTA SAGASTUME .8 Completeness ... Then, S' is also obtain... more ... Page 12. 186 RODOLFO ERTOLA, MARTA SAGASTUME .8 Completeness ... Then, S' is also obtained by dropping disjunction and conditional from M. It follows (Luiz Carlos Pereira personal communication): Corollary 19. Let α ∈ FS′ . If ⊢C′ α, then ⊢S′ α. Proof. ...
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