Drafts by Emanuele Gambetta
Recently, we have two competing philosophical visions emerging within set theory. On one side we ... more Recently, we have two competing philosophical visions emerging within set theory. On one side we have the universe view, a monistic interpretation of the universe of sets. On the other side we have the multiverse view, a pluralistic account of the universe of sets. In this article I will argue that Woodin's Ultimate L model is the true, universe of mathematics, if the Ultimate L conjecture were true, by defending the universe view. Thus, the Continuum Hypothesis, first mathematical problem in Hilbert's list, would be true. Furthermore, by assuming a philosophical perspective, that I call Foundational pluralism, I will argue that the Continuum Hypothesis would be a necessary, mathematical truth.
An attempt to obtain completeness by reasoning hypothetically. By assuming countermathematical po... more An attempt to obtain completeness by reasoning hypothetically. By assuming countermathematical possible worlds applied to contemporary issues of set theory.
La domanda con cui vorrei iniziare questo breve articoló e la seguente: perché Ernest Zermelo ass... more La domanda con cui vorrei iniziare questo breve articoló e la seguente: perché Ernest Zermelo assiomatizza la teoria degli insiemi? La giustificazione occasionale che dá Zermelo ´ e quella di evitare le antinomie. Sin dalle origini della teoria furono scoperte l'antinomia del massimo numero cardinale (antinomia di Cantor) e l'antinomia del massimo numero ordinale (antinomia di Burali-Forti) che minavano le fondamenta della disciplina 1. Un'altra motivazione per l'introduzione degli assiomí e rintracciabile nelle discussioni pos-teriori alla dimostrazione del teorema del buon ordinamento. I fondatori della disciplina, vale a dire Richard Dedekind e Georg Cantor , non avevano sentito l'urgenza di presentare la teoria in forma assiomatica. Dedekind enuncia nei suoi lavori solo i seguenti prin-cipi: Il principio di estensionalitá, l'esistenza di insiemi con un solo elemento, dell'unione e dell'intersezione. Tuttavia, Dedekind non utilizza postulati per asserire l'esistenza di questi insiemi, ma la loro esistenzá e implicata dalle definizioni. Cantor utilizza alcuni principi, soprattutto quando deve escludere le contraddizioni (antinomia del massimo nu-mero cardinale e del massimo numero ordinale) che vengono scoperte intorno al 1890. In una lettera del 1899 a Dedekind(Lolli 2012) nella quale introduce la distinzione tra molteplicitá consistenti e molteplicitá inconsistenti, afferma che due molteplicitá equiv-alenti (in corrispondenza biunivoca) sono o entrambe consistenti o entrambe inconsistenti (anticipazione dell'assioma di rimpiazzamento). Sicuramente la figura principale per la diffusione del metodo assiomatico fu David Hilbert. 1 L'antinomia di Russell venne scoperta nel 1901.
Nel 1938, Kurt Gödel pubblicó un articolo in cui introduceva il modello L che si fonda sull'idea ... more Nel 1938, Kurt Gödel pubblicó un articolo in cui introduceva il modello L che si fonda sull'idea di insieme costruibile.A differenza di Ernest Zermelo che non aveva caratterizzato esplicitamente gli insiemi, Gödel introdusse il concetto di insieme costruibile che implicava l'utilizzo di formule logiche del primo ordine. In poche parole, gli insiemi di Gödel sono costruibili grazie all'utilizzo di formule che definiscono intensionalmente l'insieme stesso. Grazie al modello L, Gödel forní una prova di consistenza relativa dell' ipotesi del continuo generalizzata, ovvero 2 ℵα = ℵ α+1. In poche parole, nel modello L gli assiomi di ZFC sono consistenti con l'ipotesi del continuo generalizzata. Naturalmente si tratta di una dimostrazione di consistenza relativa, in quanto occorre assumere che ZF sia consistente e poi dimostrare che una teoria piú forte abbia un modello. Drake(1974) argomenta che la teoria assiomatica di Zermelo non caratterizzando esplicitamente, come invece fa Gödel, l'insieme potenza di un insieme poneva forti limiti sulla possibilitá di risolvere il problema del continuo. il lettore avrá certamente notato la forte somiglianza tra il concetto di insieme costruibile e l'assioma di separazione. 2. Proprietá strutturali La classe L di tutti gli insiemi costruibilí e un modello transitivo di ZFC edéedé il piú piccolo modello transitivo di ZF che contiene tutti gli ordinali. Un insieme X ´ e defini-bile in un modello (M, ∈) se ví e una formula φ ∈ F ORM (l'insieme di tutte le for-mule ben formate del linguaggio del primo ordine) e alcuni
Within set theory, we have many competing metaphysical positions concerning the universe of sets.... more Within set theory, we have many competing metaphysical positions concerning the universe of sets. Firstly, I will argue that Woodin's Ultimate L model can be considered as the true, universe of mathematics. Then, I am going to introduce the Mathematical Pure I that produces ZFC axioms. Thus, I will argue that the universe of sets is an idealistic construction accomplished by the Mathematical Pure I. Inspired by Fichte's Wissenschaftslehre, I will explain that the Mathematical Pure I constructs idealistically Von Neumann Universe and that resembles Brouwer's highly idealized subject and Kitcher's Ideal Agent.
Books by Emanuele Gambetta
Incompleteness and Logic , 2022
This book deals with the phenomenon of incompleteness in mathematics. There are truths that axiom... more This book deals with the phenomenon of incompleteness in mathematics. There are truths that axiomatic systems fail to prove. This book is a kind of travel from Peano arithmetic to modern ZFC theory. There are chapters that describe Turing’ s universe, randomness and Woodin’ s program (V= Ultimate L and Omega Logic). Thinking about the words of Ronald Jensen this book ends with a philosophical reflection about V= L.
Philosophy of the infinite, 2020
Infinity is a fascinating subject. What do we mean when we use the concept of infinity? what di... more Infinity is a fascinating subject. What do we mean when we use the concept of infinity? what did the ancient Greeks mean? What do modern mathematicians mean when they use infinity in their calculations? What are the debates of contemporary philosophers regarding the infinite? This book, starting from Aristotle and Plato, tries to retrace the steps that led to contemporary conceptions of infinity. The book also deals with the first mathematical problem of the twentieth century on Hilbert's list with no solution that has correlations with the concept of infinity.
Papers by Emanuele Gambetta
Philosophy of the Infinite: comparison between Cantor's absolute infinite and the Absolute princi... more Philosophy of the Infinite: comparison between Cantor's absolute infinite and the Absolute principle of Damascius and Plotinus. 2. Stressing philosophical aspects: the Kantian distinction again within set theory and the problematic nature of real numbers 3. The plausibility of a new axiom, namely ZF C + 0 exists 4. Melissus of Samo and Georg Cantor 5. John Duns Scotus, the infinite and philosophy of mind 6. Reinhardt Cardinals and Anselm's argument 7. Paradoxes and the Curry-Liar paradox Chapter 5. Appendix
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