차원(물리량)

次元 / dimension

물리량이 지닌 특성인 차원은 측정법(개중에서도 직접 측정법)과 연관이 있는 개념이다. 물리량에는 각기 고유한 직접 측정 방식이 존재하며, 이렇게 얻어지는 특성들이 선형대수학에서의 차원과 성질이 동일하기 때문에 이러한 명칭이 붙었다.

次元 同次性의 原理 / principle of dimensional homogeneity

기본적으로 물리량은 측정을 통해서만 그 값을 알 수 있으며, 어떤 물체의 질량을 자로 재서 알 수 없듯이, 한 차원의 물리량을 측정하는 방식으로 다른 차원의 물리량을 측정할 수 없다. 이는 곧 차원이 다른 물리량끼리 덧셈, 뺄셈을 할 수 없고, 등식에서 양변의 항들이 모두 차원이 같아야 한다는 것을 의미하며, 이를 차원 동차성의 원리라고 한다. 덧붙여 이는 등식에 국한되지 않으며 크기를 비교하는 부등식에서도 마찬가지이다. 서로 다른 두 양을 단순히 더한다고 별 의미가 생기진 않음을 생각하면 왜 그런지 설명이 될 것이다.

물론 '물리학적으로 유의미한 등식은 차원 동차성을 충족한다'는 명제의 역은 성립하지 않는다. 즉 차원이 같은 양을 더한다고 해서 항상 물리학적으로 유의미하다는 것을 뜻하지는 않는다. 예로서 차원이 같은 압력과 에너지 밀도에 대해 다음 연산을 수행하는 것을 들 수 있다.

곱셈에 대해서만 가환군을 형성하는 곱셈 가환군(multiplicative Abelian group)이며, 덧셈은 같은 차원에 대해서만 정의[1]되나 덧셈 그 자체는 무시되는[2] 특이한 특성을 갖는다. 이 때문에 차원에는 곱셈에 대한 항등원 및 역원은 존재해도, 덧셈에 대한 항등원과 역원은 없다.[3] 또한 차원은 역원이 반드시 존재하기 때문에 $\pm\infty$같은 무한대나 $\varepsilon\to\pm0$ 같은 무한소를 고려할 필요 역시 없는데, 물리량 문서에서도 설명되어있듯이 물리량은 대수학적으로 수치와 단위의 곱이기 때문에, 수치 부분이 이러한 특성을 담당한다고 이해하면 된다.[4] 또한, '차원이 없는 단위'는 있어도 '단위가 없는 차원'은 존재하지 않으며[5] 단위가 없는 물리량은 무조건 무차원량이다.

요컨대 단위가 '차원'이라는 속성을 내포한다는 것으로 이해할 수 있고, 굳이 말하자면 차원이 단위의 하위 개념이다. 다만, 이론상 단위의 집합은 무한 집합[6]이며 차원이 같은 어떤 두 단위 사이에는 반드시 환산 관계가 있기 때문에, 단위 그 자체를 직접적으로 다루는 것보단 차원을 통해 대수적으로 다루는 것이 편리한 게 사실이다. 이를테면 화씨온도 $T_{\rm\degree\!F}$와 섭씨온도 $T_{\rm\degree\!C}$는 $\cfrac{T_{\rm\degree\!F}}{\rm\degree\!F} = \cfrac95\cfrac{T_{\rm\degree\!C}}{\rm\degree\!C}+32$라는 관계에 있어, $T_{\rm\degree\!F} = \cfrac95\cfrac{T_{\rm\degree\!C}}{\rm\degree\!C}{\rm\,\degree\!F}+32{\rm\,\degree\!F}$로 상수만큼 차이가 나기 때문에 우변의 수식을 직접 다루면 단위까지 일일이 표기해야 하는 번거로움이 따르지만 차원 추출 함수 $\dim$을 적용하면 $\dim\biggl(\cfrac95\cfrac{T_{\rm\degree\!C}}{\rm\degree\!C}{\rm\,\degree\!F}+32{\rm\,\degree\!F}\biggr) = {\sf\cfrac{\Theta^2}\Theta} + {\sf\Theta} = {\sf\Theta}$로서, 각종 계수와 덧셈이 사라지기 때문에 다루기 편리하다. 또한, 가감 연산이 가능하려면 적어도 차원은 같아야 한다는 조건에 의해, 분석하고자 하는 모델의 수식이 타당한지 판별하는 데에 차원을 이용할 수 있다. 즉, 여러 개의 항으로 구성된 수식에서 한 개 이상의 항의 차원이 다른 것과 다르게 나온다면 그 수식은 물리학적으로 잘못 작성됐다고 볼 수 있으며, 변수 물리량을 재검토하거나 단위를 붙이는 등의 추가적인 조작을 통해 보완해야 한다. 물론, 파인만이 '아무리 뛰어난 이론이라도 현실과 맞지 않으면 아무 쓸모도 없다'고 한 것처럼, 각 항의 차원이 같다(모델을 구성하는 수식이 차원적으로 하자가 없다)고 해서 꼭 물리학적으로 유의미하다고 볼 수는 없으며 실험을 통한 검증이나 물리학적인 해석이 뒷받침되어야 한다.

전술했듯 단위에 차원이라는 속성이 있으며, 차원을 '대표 단위' 정도로 이해할 수 있다. 단위가 다르지만 같은 물리량을 나타낸다면 그 단위들은 '차원이 같다'고 표현한다. 예를 들어 미터, 인치, 리(里)는 모두 길이의 단위로서 차원이 $\sf L$로 같지만 킬로그램, 초, 미터는 각각 질량, 시간, 길이의 단위로서 차원이 각각 $\sf M$, $\sf T$, $\sf L$로 모두 다르다. 기호뿐만 아니라 차수가 달라도 다른 차원이며 대표적으로 넓이는 $\sf L^2$, 부피는 $\sf L^3$으로 길이의 차원 $\sf L$과 다르다. 물론 이 역시 $\rm m$, $\rm m^2$, $\rm m^3$이라는 단위의 차수로부터 얻어지는 것이며, 이렇게 차수가 다른 단위들은 가령 ${\rm m}=1$, ${\rm m^2}=1$처럼 순수한 수치로 치환해서 나타낼 수 없다. 즉 물리적인 실체가 서로 다른 어떤 두 물리량의 단위 $\rm u_1$, $\rm u_2$에 대해 ${\rm u_2} = {\rm u_1}^n \pod{n\ne1}$이라는 관계가 성립한다면, $n=1$에 해당하는 기저 단위는 고유한 차원을 갖는다고 이해할 수 있다.[7] 반대로 두 물리량의 실체가 동일하다면, 가령 ${\rm ppm} = \%^3$처럼 단위의 차수가 달라도 두 단위 모두 '비율'을 나타내는 물리량의 단위이므로 같은 차원을 가져야 하는데 이를 만족하는 조건은 오로지 그 단위가 무차원량인 것뿐[8]이므로 기저가 되는 $\%$는 무차원이어야 한다고 해석할 수 있다.

한편, 이것의 역, 즉 차원이 같다고 해도 무차원량의 존재 때문에 그 물리량들의 실체가 꼭 같지는 않다. 대표적으로 진동수의 단위 $\rm Hz$와 초당 핵 붕괴 횟수를 나타내는 단위 $\rm Bq$이 있다. 이 둘은 차원이 $\sf T^{-1}$로 같지만 헤르츠는 주기가 있는 물리량에만 쓸 수 있기 때문에 단순히 시간당 횟수를 나타내는 물리량에 쓸 수 없으며, 이 반대의 경우도 마찬가지로 베크렐도 아무 $\sf T^{-1}$짜리 물리량의 단위에 쓸 수 없다. 나아가 차원이 없다고 하여 단위를 생략 혹은 약분하거나 바꿔 쓸 수 없다. 예를 들어 반수치사량은 g/kg 등 차원이 $\sf M{\cdot}M^{-1} = 1$인 단위를 사용하지만 그 단위를 약분하거나 없앨 수 없다.[9]

표기 시에 물리량은 이탤릭체, 단위는 로만체로 나타내기 때문에 차원 기호는 이들과의 구분을 위해 산세리프의 직립체로 나타내는 것이 일반적이다. 국제 단위계에서 정한 기본량은 다음과 같으며 각각 고유한 물리량 기호, 차원 기호가 있다. 아래 목록에 추가로 B. P. Leonard (2021), Paul Quincey (2021)(arXiv 버전) 등은 각의 차원으로서 $\sf A$, 기본 단위로서 $\rm rad$을 제안한 바 있다.

  자세한 내용은 무차원량 문서를 참고하십시오.

레이놀즈 수, 퍼센트 같이 차원이 없는 물리량들은 차원분석을 하면 차원이 모두 약분되어 $1$이 되기 때문에 차원 기호를 $\sf1$[10]로 나타낸다. 그러나 이 숫자는 단순히 수학적으로 계산된 결과일 뿐, 예를 들면 진동수의 단위가 $\rm Hz = s^{-1}$이라고 해서 '진동수는 $-1$의 차원을 갖는다'고 표현하지 않으며 그냥 '차원이 $\sf T^{-1}$이다'라고 표현한다. 어디까지나 본 차원의 정의는 도량형학(metrology)에서의 이야기이지, 이론 물리학에서 말하는 $\bm n$차원과는 별개의 이야기이다.

한편, 물질량의 단위인 몰은 본래 입자의 개수를 의미하는 단위이기 때문에 원래대로라면 무차원의 단위(즉 차원 기호가 $\sf1$)여야 하지만 위 표에서 알 수 있듯이 $\sf N$이라는 고유의 차원 기호를 쓴다. 이에 대한 비판 역시 끊이지 않고 있는데 자세한 것은 몰 문서로.

과학에서 수식을 쓸 때에는 등호 및 부등호의 좌우변이 단위는 물론 차원도 일치해야 하기 때문에, 각종 물리 상수, 이를테면 플랑크 상수 $h$, 쿨롱 상수 $k_e$는 물론 광속 $c$ 같은 것에도 단위가 붙어있으며[11], 해당 상수가 수식에서 양변의 차원을 동일하게 맞춰준다는 것을 쉽게 알 수 있다. 뿐만 아니라 처음 보는 물리 상수가 등장하더라도 단위와 차원만 파악하면 해당 상수가 어떤 분야에서 쓰이는지, 무엇에 대한 상수인지도 대략적으로 짐작할 수있다. 물리 공식을 계산할 때, 양변의 차원이 맞는지 늘 검토하는 습관(차원분석)을 들인다면 유용하며, 양변의 차원이 맞지 않는다면 기본적으로 수식에 문제가 있다는 것이므로 어디선가 계산이 틀린 것이다.

단적인 예시로 우주의 팽창에 관하여라는 유사과학 서적에서도 이런 차원 개념의 부재로 인한 초보적인 실수를 찾아볼 수 있다. 해당 서적에서는 광속 $c$에 대해, $1{\rm\,s}\times c=300000{\rm\,km}$이며, 여기서 상수인 $c$를 생략하여 $\rm1\,s=300000\,km$, 즉 1초는 30만 $\rm km$라는 공간[12]에 대응된다는 결론을 도출하는데, 이는 $\sf LT^{-1}$이라는 차원이 있는 상수 $c$[13]를 좌변에서 멋대로 지워버려서 생긴 오류에 불과하며[14], 실제로 $c$를 없애기 전 양변의 차원은 $\sf L$로 동등했음을 알 수 있다. 즉, 저건 초보적인 계산 오류에 불과하다. 위는 간단한 식의 예시지만, 복잡한 계산을 다룰 때에도 이러한 오류를 피하기 위해 계산할 때 양변의 차원이 맞는지 체크하는 습관을 들인다면 좋다.

다만 곱셈, 나눗셈은 가능하며, 곱셈의 경우 어느 한 물리량이 다른 물리량과 동시에 작용하여 의미가 있는 것[15], 나눗셈의 경우 어느 한 물리량에 대한 다른 물리량의 비[16]로서의 의미를 갖는다. 물론 마구잡이로 곱하거나 나눈다고 해서 말이 되는 건 아니며, 오로지 그것이 물리적으로 의미가 있어야만 가치를 인정받을 수 있다. $\rm kg^2m$ 같은 건 물리적으로 아무런 의미가 없는 잉여의 예.[17] 또한 $\rm kg\,m^2s^{-3}A^{-1}$, $\rm m^2s^{-2}$ 같이 단위만으로는 어디에 쓰이는지 알기 어려운 것도 있어 각종 유도 단위의 사용이 허용되어 있다. 단, 이런 SI 기본 단위의 사용이 구속력을 지니지는 않기 때문에 어디까지나 권장되는 수준에 머물러 있으며 분야에 따라서는 SI 단위가 아닌 것들도 많이 쓰인다.

자연 단위계는 어떤 물리학적인 고찰 없이 순수하게 물리 상수들의 차원분석만을 통해 구성된 단위계로, 플랑크 단위계가 대표적이다. 플랑크 단위계에서는 기본 단위인 플랑크 질량 $m_{\rm P}$, 플랑크 길이 $l_{\rm P}$, 플랑크 시간 $t_{\rm P}$, 플랑크 온도 $T_{\rm P}$가 광속 $c$, 디랙 상수 $\hbar$, 중력 상수 $G$, 볼츠만 상수 $k_{\rm B}$의 조합(수식)으로 정의되며 각각 $\sf M$, $\sf L$, $\sf T$, $\sf \Theta$의 차원을 갖는다는 특징이 있다. 앞선 물리량 $l$, $m$, $t$ 등의 차원과 무슨 차이가 있겠냐 싶겠지만, 플랑크 단위계의 기본 단위들은 모두 물리 상수의 조합으로 구성되어있기 때문에 구체적인 값이 있는 상수이자 그 자체로 차원 단위라는 특징이 있다. 또한 앞선 물리 상수들은 플랑크 단위계의 기본 단위를 이용해서 전부 대체되기 때문에[18] 결과적으로 각종 물리 공식들에서 $c = \hbar = G = k_{\rm B} = 1$이 된 듯한 간단한 식으로 바뀐다는 특징이 있다. $c$의 경우 $E = mc^2$으로부터 유도 단위인 플랑크 에너지 $E_{\rm P}$를 정의할 수 있는데 $E_{\rm P} = m_{\rm P}c^2$이므로 $c = \sqrt{\cfrac{E_{\rm P}}{m_{\rm P}}}$로도 나타낼 수 있다. 이걸 원래 식에 대입하면 $E = m\cfrac{E_{\rm P}}{m_{\rm P}}$가 되고 식을 정리하면 $\cfrac E{E_{\rm P}} = \cfrac m{m_{\rm P}}$가 된다. 이때 각 물리량은 단위와 차원이 같은 것끼리 약분되어 무차원량이 된 상황이고(이를 '규격화'라고 한다) $\cfrac E{E_{\rm P}} = E_{\rm N}$, $\cfrac m{m_{\rm P}} = m_{\rm N}$으로 나타내면 $E_{\rm N} = m_{\rm N}$, 즉 마치 $E = mc^2$에서 $c = 1$이 된 듯한 식이 된다. 문제는 저 규격화 기호를 일일이 쓰기가 매우 번거롭기 때문에 보통 생략하고 $E = m$처럼 쓰는데 차원을 고려하면 하나도 말이 안 되는 식이다.

이와 비슷하게 상대론에선 광속이 매우 큰 수이면서 중요한 상수로 자주 나오기 때문에 계산상의 편의 및 단위 변환을 간단히 하기 위해서 빛의 속도가 $1$이 되도록 규격화하고, $E=mc^2 \Leftrightarrow m = \cfrac E{c^2} \rightarrow m_{\rm N} = E_{\rm N}$으로부터 질량의 단위를 에너지의 단위로 사용한다. 이는 양자역학에서 질량의 단위로 ${\rm eV}/c^2$을 쓰는 것과 일맥상통하는데, 역시 $c \rightarrow 1$로 규격화하는 자연 단위계를 쓴 경우 질량의 단위는 그냥 전자볼트가 되며[주의] 자연 단위계를 썼는지의 여부 역시 문맥을 통해 파악하는 수밖에 없다. 또한 화학에선 $\rm kg$이 무의미할 만큼 작은 스케일을 다루기 때문에 탄소-12 원자($\rm{}^{12}C$)의 질량을 $12$로 놓고 이에 대한 비율로 나타낸 원자량(차원 $\sf1$)이나 돌턴($\rm Da$)을 단위로 하는 통일 원자 질량 단위($m_{\rm u}$, 차원 $\sf M$)를 기준으로 나타낸다.

SI 단위를 제외한 도량형은 차원 개념이 빈약하다.[20][21]

  자세한 내용은 차원분석 문서를 참고하십시오.