에르고딕 가설

어느 열역학계의 매우 긴 시간 평균(Time average)이 곧 공간 평균(Space average)과 같을 것이라는 가설이다. 이 성질 자체는 간단히는 "에르고딕성이 성립한다"라고 표현한다. 즉, 모든 체계가 에르고딕성을 가지고 있다는 것이 가설의 내용이다. 이 분야를 연구하는 수학 분야를 에르고딕 이론(Ergodic Theory)이라고 한다.

에르고딕성을 설명할 때 빠지지 않고 나오는 비유가 당구대 비유다. 일명 "역학적 당구(dynamical billiards)"로, 수학자 야코프 시나이(Yakov Sinai)가 1963년 도입한 개념으로 유명하다.[1] 당구대 위에서 어떤 당구공이 등속으로 무한히 굴러간다고 생각해 보자. 당구대 벽이 당구공을 에너지 손실 없이 완전 반사시킬 경우, 어떤 당구대를 가져오더라도 당구공이 당구대의 모든 지점을 지나겠냐는 것이 바로 에르고딕 가설이다. 물론 흔히 아는 직사각형 당구대를 가져왔다면 한 루프만을 뺑뺑 돌겠지만,[2] 당구대는 얼마든지 다르게 생겼을 수도 있으므로 (ex: 양옆에 반원이 달려 있음 / 당구대 안에 원 동그라미가 있음[3]) 거의 모든 경우에[4] 당구공이 모든 지점을 지나지 않을까 하는 추측을 해볼 수 있다.

현재 여러 가지 체계들이 에르고딕성을 띤다고 증명되어 있다. 시나이 자신도 역학적 당구를 소개하면서 자신이 구상한 "시나이 당구대"에서는 에르고딕성이 거의 모든 경우 성립함을 증명했다. 다만 시나이는 에르고딕 가설 자체의 증명을 시도했다가 실패했다.

에르고딕 가설을 가정할 경우, 제2종 영구기관이 불가능함을 증명할 수 있다.

어느 확률 프로세스의 확률 변수가 장기적인 평균이 결국 무조건부(Unconditional) 평균과 같아지면 이를 "에르고딕하다"라고 한다. 통계물리에서는 무조건부 평균을 앙상블 평균이라고 한다.

$\frac{1}{T}\sum{X_t}=\mathbb{E}X_t$

통계 이론을 증명할 때 가정으로 많이 사용된다. 장기적으로 CLT가 성립함을 보여주기 때문이다.