로런츠 힘

Lorentz force

전하량을 가진 물체가 전자기장 내에서 받는 힘.

1892년, 헨드릭 A. 로런츠(Hendrik Antoon Lorentz; 1853~1928)가 유도하였다.

전기장 영역에 전하가 있는 입자는 전기력에 의해 힘을 받게 되며, 아래와 같이 주어진다.

여기서 $q$는 전하량, $\bf E$는 전기장이다.

만약, 전하가 연속적으로 분포하는 계가 전기장 영역에 있는 경우에서는 전하 밀도 $\rho \equiv {\rm d}q/{\rm d}V$를 도입하여,

로도 쓸 수 있다.

자기장 영역에 전하가 있는 입자가 운동할 때 입자는 힘을 받게 되는데, 아래와 같이 주어진다.

여기서 $q$는 전하량, $\bf v$는 입자의 속도, $\bf B$는 자기장이다.

연속적인 전하 분포를 가진 계에서 전하밀도 $\rho={\rm d}q/{\rm d}V$와 ${\bf v}$의 곱 $\rho {\bf v}$은 전류밀도 ${\bf J}$이므로 로런츠 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다.

전류가 흐르는 도선은 곧 전하의 흐름이 지속되는 관이라 볼 수 있고, 이것이 자기장 영역 안에 놓여있다면, 관을 통과하는 전하들은 힘을 받는다. 관을 통과하는 전하는 근사적으로 선형 전류로 취급할 수 있어[1], 일정한 전류 $I$가 흐르는 도선이 받는 힘은

여기서 ${\rm d}\bf l$은 전류의 미소 변위 벡터이다. 쉽게 말하면 전류가 통과하는 미소 길이를 벡터로 나타냈다고 생각하면 된다.

가장 제한적인 형태로 도선의 길이가 $l$이고, 자기장과 전류가 수직한 방향으로 지난다면, 로런츠 힘의 크기는

로 익숙한 형태가 된다. 방향은 아래를 참고한다. 흔히 말하는 플레밍의 왼손 법칙이다.

위에서 논의한 로런츠 힘은 전기장 혹은 자기장이 단일로 존재할 경우이지만, 실제 상황에서는 둘 다 존재할 수 있다. 따라서 일반적으로 로런츠 힘은 전기장 $\bf E$에 의한 가속력 $q\bf E$을 더한 것까지 쳐준다.

또한, 다르게 쓰면,

로 쓸 수 있다. $\rho$, $\bf E$, $\bf B$, $\bf J$는 각각 전하 밀도, 전기장, 자기장, 전류 밀도이다.

참고적으로 가우스 단위계에서 로런츠 힘은 다음과 같다. $c$는 광속이다.

전기장 ${\bf E}$과 자기장 ${\bf B}$는 아래와 같은 퍼텐셜 형태로 쓸 수 있다.

이때, $\varPhi$, $\bf A$는 각각 전기 퍼텐셜과 자기 퍼텐셜이다. 이것을 적용하여 로런츠 힘을 퍼텐셜 형태로 쓰면,

벡터 항등식을 사용하면

여기서 $\bf\dot\nabla(v\bm\cdot\dot A)$는 헤스테네스 윗점 표기법(Hestenes overdot notation)으로 $\bf\nabla$가 $\bf A$에만 작용하는 것을 의미하는 표기이다. 즉 ${\bf\nabla(v\bm\cdot A)} = {\bf\dot\nabla(\dot v\bm\cdot A)} + {\bf\dot\nabla(v\bm\cdot \dot A)}$이다. ${\bf\nabla v} = {\bf0}{\rm\,s^{-1}}$임[2]은 물론 $\cfrac{\partial v_i}{\partial x_j} = 0{\rm\,s^{-1}} \pod{i\ne j}$이라는 점을 참고하여, 우변에 $\bf\dot\nabla(\dot v\bm\cdot A) = {\bf0}{\rm\,N/C}$을 더하면 $\bf\nabla(v\bm\cdot A)$로 나타낼 수 있으므로

로 쓸 수 있다. 한편,

이므로 로런츠 힘은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$\bf\nabla_v$는 속도에 관하여 미분 연산하라는 것이다. 즉,

마지막 식의 제 2항은 수학적 요구에 의해 변형된 것으로

이다. $\varPhi$는 속도에 의존하지 않으므로 속도에 대한 미분은 ${\bf0}{\rm\,N/A}$이다.

이 문단에서는 대전된 전하가 전자기장 내부에 있을 때, 라그랑지언과 해밀토니언을 구해보도록 하자.

일반적으로 속도에 의존하는 퍼텐셜 $U$와 일반화힘 ${\bf Q}$에 대하여

로 쓸 수 있음에 따라 퍼텐셜은 $U=q(\varPhi- {\bf v\bm\cdot A})$로 쓸 수 있고, 이에 따라 라그랑지언은 아래와 같이 된다. $T$는 운동 에너지이다.

라그랑지언과 해밀토니언은 르장드르 변환으로 연결돼있다. 운동량을 $\bf p$라 하면 다음이 성립한다.

이때, 운동량

으로 결정할 수 있음에 따라 해밀토니언은 아래와 같이 쓸 수 있다.[3]

위의 결과는 국제단위계 하에서 유도된 것이고, CGS 단위계(중에서도 CGS-가우스 단위계)에서는 다음과 같이 표현된다. $c$는 광속이다.

이 결과는 두 가지의 생각할 점을 주는데, 첫째로 라그랑지언은 본래 퍼텐셜이 속도에 의존하면 단순히 운동 에너지에서 퍼텐셜 에너지의 차로 정의해도 오일러-라그랑주 방정식이 훼손되는데 이 경우는 그렇지 않다는 점이이고, 둘째로 해밀토니언이 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합으로 주어지지 않는 점이다. 이는 계 자체는 스클로노믹하나 퍼텐셜이 속도에 의존하기 때문이다. 즉, 해밀토니언이 꼭 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합과 항상 같다고 생각하면 위험함을 암시하고 있다. 자세한 내용은 라그랑주 역학, 해밀턴 역학 문서를 참고하자.

상대론적 로런츠 힘은 전자기장 텐서 $F^{\mu\nu}$의 도입으로 정의되는데,

여기서 $u_\nu$는 고유 속도로,

으로 정의된다. $\tau$는 고유 시간이다.

여기서 상대론적 힘 $\Bbb K$의 공간 성분은

로 나오게 된다. 이때, 상대론적 힘과 일반 힘의 관계는

로, 위의 정의된 상대론적 로런츠 힘을 사용하면 고전적으로 알려진 로런츠 힘으로 환원된다는 사실을 알 수 있다.

속도 선택기(velocity selector)는 일정한 전기장과 자기장을 직교하게 걸어서 전하를 띠는 입자의 속도를 재는 기구이며, 간략하게 나타내면 아래의 그림과 같이 생겼다.



그림과 같이 서로 직교하면서 균일한 전기장 $\bf E$와 자기장 $\bf B$를 걸어준 영역에 수직으로 $\bf v$의 속도로 입사하는 질량과 전하량이 각각 $m$, $q$인 입자를 고려하자.[4]

입자는 전하를 띠고, 전기장과 자기장 모두 있는 영역에 입사하므로 아래와 같은 로런츠 힘을 받는다.

그런데, 입자가 등속도 운동했다면, 입자에 가해지는 알짜힘은 $\bm0{\rm\,N}$이 돼야 하므로

을 만족해야 한다. 위 그림에서 두 힘은 작용 방향만 반대인 것을 알 수 있으므로 벡터 대신 스칼라로 적어도 무관하다.

따라서 입자의 속력은

로 정리된다.

위의 논의는 다음을 얻는다.

여담으로, 2017학년도 대학수학능력시험 중 "물리 II"과목에서 문제 오류가 발생했던 주제이기도 하다. 자세한 것은 이곳을 참조하기 바란다.

질량 분석기는 일정한 자기장 영역에 전하를 띤 입자를 자기장에 수직으로 입사시켜, 입자의 원운동 반지름으로 입자의 질량을 추적하는 장치이다. 간략하게 나타내면 아래의 그림과 같이 생겼다.



위 그림과 같이 균일한 자기장 $\bf B$가 형성된 영역에 수직으로 $\bf v$의 속도로 입사된 질량과 전하량이 각각 $m$, $q$인 입자를 고려하자.

이때, 입자는 전하를 띄고, 이것이 자기장 영역에 입사됨에 따라 로런츠 힘

를 받는다.

따라서 입자가 받는 힘은 움직이는 방향의 항상 수직이 되므로 입자는 자기장 영역 내에서 반지름 $r$인 원운동하게 된다. 이때 입자가 받는 구심력이 곧 로런츠 힘이고, 자기장과 속도 벡터가 수직이므로 이것을 스칼라로 써도 무방하다.

를 얻는다.

이상에서 입자의 원운동 반지름은

가 된다.

따라서, $B$, $q$, $v$가 모두 일정한 조건에서는 원운동의 반지름이 질량에 비례한다는 것을 알 수 있다. 따라서 동위원소의 경우 중성자의 개수만 달라 전하량은 같지만, 질량만 다르게 된다. 따라서 이 질량 분석기를 써써 같은 속도로 자기장 영역에 입사시킨다면, 질량에 따라 다른 반지름을 가지고 원운동하므로 동위원소의 질량을 추적하고, 구분할 수 있다.

또한, 질량 분석기의 경우 아래의 그림과 같이 위 문단에서 논의된 속도 분석기와 같이 해서 쓰는데, 그 이유는 입사 속도를 동일하게 만들어줘야 하기 때문이다.



화학에서도 이온의 질량 분석을 위해 이 원리를 사용한다.

해당 링크에서 속도 선택기와 질량 분석기가 붙어있는 경우에 대해 시뮬레이션 할 수 있다.

더 나아가, 같은 조건에서 같은 입자를 다른 속도로 질량 분석기에 입사시킨다면, 그 속도를 알아낼 수 있다. 위에서 구한 식에서 $v$에 대하여 정리해주면,

즉, 원운동 반지름에 비례한다는 것을 알 수 있다.

위와 같은 자기장 영역에 질량과 전하량이 각각 $m$, $q$인 입자가 다음의 속도로 입사하는 경우를 고려하자.

이때, 입자가 받는 로런츠 힘은

따라서, 입자의 질량을 $m$이라 놓으면, 다음이 성립한다.

이상에서 위의 운동 방정식을 풀면, 다음을 얻는다.

초기조건으로 다음을 설정하면[5],

쉽게 상수는 결정됨에 따라

이 된다.

식을 분석해보면, 입자는 $xz$평면에서 반지름 $R=\cfrac{mv_z}{Bq}$로 원운동함과 동시에 $y$축 방향으로는 $v_y$의 속력으로 등속 운동한다. 따라서 입자는 아래와 같이 나선 궤도를 그리며 운동하게 된다.



입자의 속력은 시간에 따라 변하지 않는다. 이것은 로런츠 힘이 입자의 운동 방향에 수직으로 작용한다는 것에서 자기장이 물체에게 하는 일이 없다는 것과 연결된다.

또, 입자의 $y$축 속력이 없이 입사되었다면, 즉, 자기장에 대해 수직하게 $v_z=v$의 속력으로 입자가 입사되었다면, 입자는 원운동한다는 것을 알 수 있고, 원운동 반지름 $R$과 진동수 $f$는 다음과 같다.

이 중 반지름은 윗 문단의 질량 분석기에서 논의했던 것과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.

위와 같은 문제 상황을 양자역학적으로 다뤄보자. 양자역학에서는 자기장을 다루기 위해 자기 퍼텐셜의 도입이 필수적이다. 그러나 불행히도 해당 자기 퍼텐셜은 유일하게 결정되지는 않는다. 따라서 가장 간단한 형태인 다음을 고려하자.

단위 벡터와 연산자 표기의 혼동을 막기 위해 이 문단에서만 단위 벡터를 ${\bf e}_{x}$ 형식으로 표기했다. 이 경우 ${\bf\nabla\bm\times A}=B {\bf e}_y$으로 환원된다.

자기장 영역 내 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같이 주어진다.

자세한 유도는 이곳을 참조한다. 위의 자기 퍼텐셜을 대입하면,

이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

다음은 쉽게 보일 수 있는 교환자 관계이다.[6]

이것은 곧 $\{{\cal H},\,p_x,\,p_y\}$가 서로 같은 고유함수를 공유함을 나타낸다. 따라서 위의 해를

로 쓸 수 있다. 따라서

으로 정리되는데, 이는 1차원 양자 조화 진동자의 슈뢰딩거 방정식이다. 따라서 해는 다음과 같다.

$\varphi_n$은 양자 조화 진동자의 $n$번째 고유함수(단, $n\ge0$의 정수)이다.

이상에서 자기장 영역 내 입자가 가질 수 있는 에너지는 다음과 같이 구해진다.

이처럼 자기장 영역 내에서도 입자의 (진동) 에너지는 양자화가 되는데 이러한 에너지를 란다우 준위(Landau level)라 한다. 고유함수는 아래와 같다.

그 외 전자기학의 거의 모든 분야에서 사용되는 힘이라고 할 수 있다.