Si precisa che gli elementi degli spazi L p (Ω) (1 ≤ p ≤ +∞) sono classi di equivalenza di funzio... more Si precisa che gli elementi degli spazi L p (Ω) (1 ≤ p ≤ +∞) sono classi di equivalenza di funzioni, due funzioni della stessa classe di equivalenza differendo in un insieme di misura (di Lebesgue) nulla.
La trasformata di Fourier 10.1 La trasformata di Fourier in L 1 (R N) Daremo ora una introduzione... more La trasformata di Fourier 10.1 La trasformata di Fourier in L 1 (R N) Daremo ora una introduzione alla teoria della trasformata di Fourier, enunciando le sue principali proprietà. Tale trasformata, introdotta dal matematico francese Joseph Fourier (1768-1830), ha consentito di risolvere numerose equazioni differenziali della fisica matematica edè utilizzata nella teoria dei segnali continui. La sua versione discreta, cioè per successioni invece che per funzioni,è stata particolarmente utilizzata dopo l'introduzione, negli anni '60, della Trasformata di Fourier Rapida (FFT). Definizione 10.1.1. Sia u ∈ L 1 (R N x) (u funzione reale o complessa); la sua trasformata di Fourier u : R N ξ → Cè la funzione limitata su R N ξ definita da u(ξ) := R N x e −2πix•ξ u(x) dL N (x) ; chiaramente u(ξ)è ben definita per ogni ξ e per la disuguaglianza di Hölder si ha u ∞ ≤ u 1. Il moltiplicatore e −2πix•ξ si chiama carattere. Osservazione 10.1.2. La trasformata di Fourier : L 1 (R N x) → L ∞ (R N ξ) e lineare e continua (anzi Lipschitziana). Nel seguito indicheremo la trasformata di Fourier di u anche con il simbolo F u. CORE Metadata, citation and similar papers at core.ac.uk
La teoria delle distribuzioni iniziata da S.L. Sobolev nel 1936 e pienamente formulata da L. Schw... more La teoria delle distribuzioni iniziata da S.L. Sobolev nel 1936 e pienamente formulata da L. Schwartz negli anni '50,è stata di fondamentale importanza sia in matematica pura che in matematica applicata, aprendo la strada all'introduzione di nozioni generalizzate di derivazione ed integrazione che consentono di aggirare alcune difficoltà della teoria classica e di dare una trattazione rigorosa dei fenomeni impulsivi o discontinui. Il concetto di distribuzione generalizza quello di funzione in molte situazioni in cui viene meno la regolarità della funzione in questione. Esempi di distribuzioni sono le funzioni impulsive, molto usate nell'elettromagnetismo ed in meccanica quantistica ancor prima che ne venisse data un'opportuna interpretazione matematica.
Riprendendo sostanzialmente un'idea di Gauss e di Green, Riemann osservò che l'esistenza in un ap... more Riprendendo sostanzialmente un'idea di Gauss e di Green, Riemann osservò che l'esistenza in un aperto Ω del piano di una funzione armonica u che assume sulla frontiera di Ω valori assegnati ϕ poteva essere ottenuta come minimo dell'integrale dell'energia D(v) := Ω |∇v(x)| 2 dL N (x) , in una classe di funzioni ammissibili con lo stesso dato su ∂Ω 23. Riemann considerava questo risultato, noto come Principio di Dirichlet, un assioma; ma Weierstrass, per primo, si rese conto che esso costituiva l'enunciato di un teorema da precisare nelle ipotesi e per il quale dare una dimostrazione. Questoè stato possibile conseguire, dopo il 1900, con l'introduzione degli spazi di Sobolev. Riportiamo tre obiezioni sollevate al Principio di Dirichlet. 8.2 Obiezione (generale) di Weierstrass (1869) Weierstrass fu il primo a mostrare che non sempre un problema di minimo per un funzionale del Calcolo delle Variazioni, con integrando non negativo, ha una soluzione.
Introduzione agli Spazi di Sobolev 7.1 Spazi di Sobolev Definizione 7.1.1. Sia Ω aperto connesso ... more Introduzione agli Spazi di Sobolev 7.1 Spazi di Sobolev Definizione 7.1.1. Sia Ω aperto connesso non vuoto di R N (N ≥ 2) 20 , 1 ≤ p ≤ +∞; lo spazio di Sobolev W 1,p (Ω)è definito da W 1,p (Ω) := u ∈ L p (Ω); ∃ g 1 , g 2 ,. .. , g N ∈ L p (Ω) : Ω u(x) • ϕ xi (x) dL N (x) = − Ω g i (x) • ϕ(x) dL N (x) ∀ i = 1,. .. , N ∀ ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω). Osservazione 7.1.2. Per ogni i = 1,. .. , N la funzione g iè unica. Infatti seè anche (per i = 1,. .. , N) Ω u(x) • ϕ xi (x) dL N (x) = − Ω h i (x) • ϕ(x) dL N (x) ∀ ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) , allora Ω (g i (x) − h i (x)) • ϕ(x) dL N (x) = 0 ∀ ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) pertanto g i = h i q.o. in Ω. Osserviamo che u ∈ W 1,p (Ω) ⇐⇒ u ∈ L p (Ω) e tutte le sue N derivate parziali prime nel senso delle distribuzioni sono in L p (Ω), 20 Per gli spazi di Sobolev, anche in dimensione N = 1, si può consultare e.g. [1].
Il risultato principale di questo capitoloè il Teorema di densità 5.4.1. 5.1 Convoluzione e Regol... more Il risultato principale di questo capitoloè il Teorema di densità 5.4.1. 5.1 Convoluzione e Regolarizzazione per convoluzione Ricordiamo che uno spazio topologico X si dice (spazio) normale seè T 1 (cioè se ogni puntoè un chiuso) e ∀F 1 , F 2 chiusi, non vuoti, disgiunti ∃G 1 , G 2 aperti, disgiunti : F 1 ⊂ G 1 , F 2 ⊂ G 2. Osserviamo che ogni spazio metricoè (uno spazio) normale. Teorema 5.1.1. (Lemma di Urysohn) Sia X uno spazio normale. Comunque si prendano due chiusi, non vuoti, disgiunti, F 1 e F 2 di X, esiste u 1 : X → [0, 1] continua tale che u 1 (x) = 1 se x ∈ F 1 0 se x ∈ F 2. Lemma 5.1.2. C 0 0 (R N)è denso in L 1 (R N). Dimostrazione. Sia u ∈ L 1 (R N) e senza ledere la generalità, supponiamo u ≥ 0. Esiste allora (u n) successione crescente di funzioni semplici, 0 ≤ u n ≤ u n+1 ≤ u per ogni n ∈ N, tale che u n − −−−− → n→+∞ u q.o. in R N brought to you by CORE View metadata, citation and similar papers at core.ac.uk
L'equazione delle onde (o di d'Alembert (1747)) e alcuni problemi connessi 12.1 Il Problema di Ca... more L'equazione delle onde (o di d'Alembert (1747)) e alcuni problemi connessi 12.1 Il Problema di Cauchy per l'equazione delle onde unidimensionale La più semplice equazione alle derivate parziali iperbolicaè l'equazione delle onde unidimensionale u tt − c 2 u xx = 0 , (12.1) 41 Anche per x ∈ R e t ∈ R. A differenza dell'operatore del calore, l'operatore delle ondeè invariante rispetto all'inversione del tempo (x, t) → (x, −t). Pertantoè sufficiente studiare soluzioni in t ≥ 0, perché risultati simili possono conseguirsi per t ≤ 0, sostituendo t con −t.
Elementi della teoria (matematica) del potenziale (scalare): l'equazione di Laplace, di Poisson e... more Elementi della teoria (matematica) del potenziale (scalare): l'equazione di Laplace, di Poisson e problemi connessi 2.1 Funzioni armoniche in Ω Definizione 2.1.1. Sia Ω aperto connesso non vuoto di R N. u armonica in Ω def ⇐⇒ u ∈ C 2 (Ω) e ∆u = 0 (equazione di Laplace) in Ω. Nel caso N = 2 la parte reale e la parte immaginaria di una funzione olomorfa sono funzioni armoniche. CORE Metadata, citation and similar papers at core.ac.uk
Questi appunti sono una versione ampliata delle lezioni tenute da Michele Carriero sulle Equazion... more Questi appunti sono una versione ampliata delle lezioni tenute da Michele Carriero sulle Equazioni a Derivate Parziali Lineari per gli Studenti dei Corsi di Studio in Matematica dell'Università del Salento. L'intento principaleè quello di introdurre gli Studenti alle Equazioni a Derivate Parziali Lineari attraverso una trattazione-guida che renda più accessibile lo studio e l'approfondimento successivo in testi avanzati esistenti in letteratura. La presentazione riflette lo stile delle lezioni; non viè la pretesa di aver esposto l'argomento in modo esaustivo né originale, ma siè mirato soprattutto ad evidenziare casi modello significativi. Il secondo autoreè uno dei partecipanti al Corso nell'a.a. 1990/91 e ha illustrato un problema di rilevante interesse nell'ambito della finanza matematica; a lui va riconosciuto l'impegno per la cura di questa versione, a partire dagli appunti delle lezioni tenute in diversi anni.
A New Proposal of Parametric Similarity Measures with Application in Decision Making
Lecture Notes in Networks and Systems, 2021
We introduce a general equality index for two fuzzy values, proposing a parametric family of simi... more We introduce a general equality index for two fuzzy values, proposing a parametric family of similarity measures between two fuzzy vectors, and investigating the mathematical properties. Subsequently we construct a class of parametric similarity measures, showing how the proposed approach extends and generalizes previously proposed framework in the context of decision making problem. The proposed approach can support decision maker under complex situations. An application of the proposed method is also given.
Credit risk profiling using a new evaluation of interval-valued fuzzy sets based on alpha-cuts
IEEE International Conference on Fuzzy Systems, 2017
In this paper we propose a parametric way to associate to an interval-valued fuzzy set its evalua... more In this paper we propose a parametric way to associate to an interval-valued fuzzy set its evaluation useful for its ranking. The novelty of this paper is connected with the fact that we follow a line based on its α-cuts and the parametric formulation we obtain, leaves to the decision maker a wide freedom. For particular values of these parameters we obtain Nie and Tan defuzzification method that, in its classical definition, shows only the evaluation, but looking at it in this new version we obtain further information. The proposed methodology is then applied to risk profiling of a bank client using an interval type-2 fuzzy logic system.
Fuzzy quantities and their ranking: a new proposal
We deal with the problem of evaluating and ranking fuzzy quantities. We call fuzzy quantity any n... more We deal with the problem of evaluating and ranking fuzzy quantities. We call fuzzy quantity any non-normal and non-convex fuzzy set, defined as the union of two, or more, generalized fuzzy numbers. For this purpose we suggest an evaluation defined by a pair index based on "value" & "ambiguity". Either value or ambiguity depend on two parameters connected the first with the optimistic/pessimistic point of view of the decision maker and the second on an additive measure that can be used to express the decision maker's preferences.
Spazi di Hilbert (reali) 6.1 Spazi di Hilbert (reali) Sia H uno spazio vettoriale reale. Un prodo... more Spazi di Hilbert (reali) 6.1 Spazi di Hilbert (reali) Sia H uno spazio vettoriale reale. Un prodotto scalare su Hè un funzionale reale (• | •) : H×H → R bilineare simmetrico e definito positivo (i.e. (u|u) ≥ 0 ∀ u ∈ H e (u|u) > 0 ∀ u ∈ H \ {0}).
In this paper we present an innovative procedure to reduce the number of rules in a Mamdani rule-... more In this paper we present an innovative procedure to reduce the number of rules in a Mamdani rule-based fuzzy systems. First of all, we extend the similarity measure or degree between antecedent and consequent of two rules. Subsequently, we use the similarity degree to compute two new measures of conflicting and reinforcement between fuzzy rules. We apply these conflicting and reinforcement measures to suitably reduce the number of rules. Namely, we merge two rules together if they are redundant, i.e. if both antecedent and consequence are similar together, repeating this operation until no similar rules exist, obtaining a reduced set of rules. Again, we remove from the reduced set the rule with conflict with other, i.e. if antecedent are similar and consequence not; among the two, we remove the one characterized by higher average conflict with all the rules in the reduced set.
L'equazione del calore e alcuni problemi connessi 11.1 Il Problema di Cauchy per l'equazione del ... more L'equazione del calore e alcuni problemi connessi 11.1 Il Problema di Cauchy per l'equazione del calore in R N Assegnata f = f (x) in R N il problema di Cauchy in avanti nel tempo (forward) per l'equazione del calore consiste nel cercare una funzione u = u(x, t) definita e regolare per x ∈ R N e solo per t ≥ 0 tale che Hu(x, t) := ∂ ∂t u(x, t) − ∆ x u(x, t) = 0 x ∈ R N , t > 0 (Equazione del calore) u(x, 0) = f (x) x ∈ R N .
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