Bachir Sadi
580 California St., Suite 400
San Francisco, CA, 94104
Abstract
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
References (18)
- Si I(P ) = 2, alors ∃x 1 = M in(L), x 2 = M ax(L) tels que x 1 P x 2 . Suppo- sons que P n'est pas une antichaîne, alors ∃x, y ∈ P tels que x 1 ≤ L x < P y ≤ L x 2 , ce qui implique, d'après la remarque 3.3, que x 1 < P y ≤ L x 2 . D'autre part, comme x 2 = maxL, alors (Par définition de L) P red P (y) ⊆ P red P (x 2 ). Or, x 1 ∈ P red(y), donc x 1 ∈ P red P (x 2 ), c'est-à-dire x 1 < P x 2 . Absurde, par conséquent, P est une antichaîne. cqfd Théorème 4.10 Soit P un ordre d'intervalles sans niveau dominant. Alors, cdev(P ) = I(P ) -1.
- Preuve 4.10 On utilise la démontration par récurrence sur I(P ) :
- Si I(P ) = 1, P est un ordre total réduit à un seul élément, donc cdev(P ) = 0 = I(P )-1.
- Si I(P ) = 2, P est une antichaîne, donc cdev(P ) = 1 = I(P ) -1.
- Maintenant, on suppose que pour tout ordre P tel que I(P ) = m, on a cdev(P ) = I(P )-
- Montrons que pour un ordre Q tel que I(Q) = m + 1, on a aussi cdev(Q) = I(Q) -1.
- Soit Q un ordre d'intervalles sans niveau dominant tel que I(Q) = m + 1. On sait que cdev(Q) = cdev(D(Q)) + 1 et d'après le corollaire 4.6, D(Q) est un ordre d'inter- valles sans niveau dominant et I(D(Q))
- = I(Q) -1 = m. Et d'après l'hypothèse de récurrence, cdev(D(Q)) = m -1. D'où cdev(Q) = 1 + m -1 = I(Q) -1. cqfd Remarque 4.3 Nous avons dit plus haut que le choix de l'extension linéaire associée à P n'importe pas. En effet, soient L, L deux extensions linéaires de P . Notons I(P ), I (P ) les cardinaux des suites minimales pour H associées à P , calculés, respectivement, dans L, L . Alors, d'après le théorème ci-dessus, cdev(P ) = I(P ) -1 = I (P ) -1 ; ce qui implique I(P ) = I (P ).
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