The language of subpairs ([!]) provides a suitable framework for investigating connections betwee... more The language of subpairs ([!]) provides a suitable framework for investigating connections between local and global properties of a finite group and its /-blocks (f a prime). In particular various "reduction theorems" in modular representation theory ([6], [H], [8], [4]) may be illuminated using the "local methods" introduced in [1]. On another band, R. Brauer's formulae for the lower defect group multiplicities in a finite group (see [2], [3], [9]) give strong numerical relations between the global and local invariants of a group and its blocks. It would therefore seem reasonable to try to connect these facts: this is the main purpose of this paper.
L'accès aux archives de la revue « Publications mathématiques de l'I.H.É.S. » (http:// www.ihes.f... more L'accès aux archives de la revue « Publications mathématiques de l'I.H.É.S. » (http:// www.ihes.fr/IHES/Publications/Publications.html) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ ISOMÉTRIES DE CARACTÈRES ET ÉQUIVALENCES DE MORITA OU DÉRIVÉES par MICHEL BROUÉ 0. Introduction Soit C un anneau commutatif unitaire noethérien intègre, de caractéristique zéro. Soit K son corps des fractions; on le suppose « assez gros » pour tous les groupes finis que nous considérons. Soit G un groupe fini. Dans toute la suite, on désigne par e un idempotent du centre ZQG de l'algèbre de groupe OG. On note c^mod la catégorie des ^G^-modules de type fini. On désigne par Irr.g:(G, e) l'ensemble des caractères irréductibles % de G sur K tels que %(1) = j^e). Soit H un second groupe fini, et soit/un idempotent de ZCTL On définit Irr^(H,/) de manière analogue. Le résultat suivant est inspiré d'une situation particulière (« Isomorphic Blocks ») étudiée par Alperin ([Al]). Il a été également noté par Dade ([Da]). 0.1. Théorème.-Supposons que H soit un sous-groupe de G, et que la restriction Resî nduise une bijection de Irr^G, e) sur Irr^(H,/). Alors les Q-algèbres QGe et Oîif sont isomorphes. Bien que très simple (cf. démonstration ci-dessous) ce résultat m'a semblé intéressant : d'une information sur les « caractères ordinaires » il permet d'obtenir une information a priori beaucoup plus profonde sur les représentations entières. L'un des buts du présent travail est d'obtenir la généralisation suivante du théorème 0.1, que nous appliquerons ensuite à l'étude de certains blocs des groupes réductifs finis. 0.2. Théorème.-Soit M un [GGe, (Pïïf)-bimodule qui est projectif et de type fini à la fois comme QGe-module et comme module-Oîîf. Supposons que le foncteur M ®(PH/-: OTi^^Ô->• ^m od induise une bijection de Irr^H,/) sur Irr^G, e). Alors ce fondeur est une équivalence de catégories (et en particulier les Q-algèbres OGe et Oïlf sont Morita équivalentes). 46 MICHEL BROUÉ Le principe de la démonstration du théorème 0.2 est analogue à celui de la D.M.I. Ecole Normale Supérieure 45, rue (TUIm F-75005 Paris Manuscrit reçu le 28 novembre 1989.
Sommaire 0. Introduction 1. Blocs 1A. Blocs : généralités 1B. Blocs et idéaux maximaux 1C. Cas de... more Sommaire 0. Introduction 1. Blocs 1A. Blocs : généralités 1B. Blocs et idéaux maximaux 1C. Cas des algèbres symétriques 1D. Algèbres symétriques de groupes finis 2. Les blocs de Rouquier des algèbres de Hecke cyclotomiques 2A. Algèbres de Hecke cyclotomiques 2B. Blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques 2C. Blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques des groupes cycliques 3. Blocs de Rouquier des algèbres de Ariki-Koike cyclotomiques 3A. Une question de combinatoire : contenu et résidus 3B. Rappels sur les algèbres de Ariki-Koike 3C. Blocs de Rouquier des algèbres de Ariki-Koike cyclotomiques 3D. Invariants a et A des blocs de Rouquier 4. Blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r) 4A. Les algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r) 4B. Les blocs de Rouquier des algèbres cyclotomiques des groupes G(d, d, r) Appendice : Quelques algèbres cyclotomiques pour G(3, 1, 2) Bibliographie
Notices of the American Mathematical Society, 2023
Jacques Tits was born in Uccle, a municipality of Brussels, on August 12, 1930, and died on Decem... more Jacques Tits was born in Uccle, a municipality of Brussels, on August 12, 1930, and died on December 5, 2021. The son of a mathematician, Tits displayed extraordinary mathematical ability at an early age. He received his doctorate at the University of Brussels in 1950 and spent the following year at the Institute for Advanced Study. In 1964, he moved from the University of Brussels to a professorship in Bonn, and then in 1973 to the Collège de France, where he remained for the rest of his career. For almost thirty years he held courses and seminars at the Collège de France and for nineteen years, Tits was editor-in-chief of the Publications Mathématiques de l'IHES. Tits made many fundamental contributions to our understanding of the structure of semisimple algebraic groups and finite simple groups and did more than anyone to explore and reveal the geometric nature of these subjects. When Tits was young, Chevalley had shown that semisimple algebraic groups over an algebraically closed
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