IMPLEMENTAZIONE DEL METODO GMRES Il metodo GMRES (Generalized Minimum Residual) è un metodo itera... more IMPLEMENTAZIONE DEL METODO GMRES Il metodo GMRES (Generalized Minimum Residual) è un metodo iterativo per la risoluzione di sistemi lineari del tipo A x = b, con A matrice generica n x n. Il metodo GMRES fa parte della famiglia dei metodi di Krylov, i quali consistono essenzialmente nella ricerca di una soluzione del tipo: x (i) =x (0) +w (i) Il vettore x (i) viene cercato sommando a un generico vettore iniziale x (0) , un vettore w (i) appartenente al sottospazio di Krylov di ordine i, capace di minimizzare l'errore rispetto alla soluzione esatta. L'errore, dipendendo dalla soluzione esatta, è una quantità incognita. Una stima dell'errore " a posteriori " , è realizzabile a partire da quantità già calcolate: come, ad esempio, nel caso della valutazione del residuo o del controllo dell'incremento. Il sottospazio di Krylov di ordine i è lo spazio generato all' i-esimo passo da: r (0) , Ar (0) ,… , A (i−1) r (0) con: r (0) = b – A x (0) residuo associato al vettore iniziale x (0). Lo spazio Ki (A;r (0)) ha dimensione al più uguale a i ≤ n. La parte iniziale dell'implementazione di un metodo di Krylov consiste nello sviluppo dell'Algoritmo di Arnoldi. Si introduce la matrice: K i =[r (0) Ar (0) ⋯ A (i−1) r (0) ] L'algoritmo di Arnoldi è una procedura iterativa analoga all'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Si costruiscono così, uno dopo l'altro, i vettori q (i) costituenti la base ortonormale del sottospazio di Krylov di ordine i-esimo.
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